Borel-Cantelli-Lemma

Das Borel-Cantelli-Lemma (nach Émile Borel und Francesco Cantelli) ist ein Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es ist oftmals sehr hilfreich bei der Untersuchung auf fast sichere Konvergenz von Zufallsvariablen. Das Lemma besteht aus zwei Teilen, wobei der „klassische“ Satz von Borel-Cantelli nur den ersten Teil enthält. Der zweite ist eine Erweiterung und stammt von Paul Erdős und Alfréd Rényi.

Aussage des Lemmas

Formulierung

Es sei $(A_n)_{n \in N}$ eine unendliche Folge zufälliger Ereignisse. Dann besagt das Borel-Cantelli-Lemma^[1]

1. Ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der A_n endlich, so ist die Wahrscheinlichkeit des limes superior der A_n gleich 0.
2. Ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der A_n unendlich und sind die Ereignisse A_n wenigstens paarweise unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit des limes superior der A_n gleich 1.

Da die Aussage von der Form ist, dass die Wahrscheinlichkeit einer Menge, hier des limes superior, entweder 0 oder 1 ist, zählt das Borel-Cantelli-Lemma zu den 0-1-Gesetzen.

Formale Aussage

Symbolisch: Für

$A = \limsup A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{i=n}^{\infty}A_i = \{A_n \rm{\,\,unendlich\,\, oft} \}$

$= \{ \omega \in \Omega: \omega \in A_n \rm{\,\,f\ddot{u}r\,\, unendlich\,\, viele\,\,} n \in \mathbb{N}\}$

gilt:

1. $\sum_{n \geq 1} P(A_n) < \infty \Rightarrow P(A)=0$
2. $\sum_{n \geq 1} P(A_n) = \infty$ und die A_n sind paarweise unabhängig $\Rightarrow P(A)=1$

Zum Beweis

Die klassische Aussage 1. kann so bewiesen werden: Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Ereignis A_k mit $k \ge n$ eintritt, ist nicht größer als $\sum_{k=n}^\infty P(A_k)$ und strebt wegen der vorausgesetzten Konvergenz der Summe gegen 0 für $n \to \infty$. Der limes superior der A_n ist das Ereignis, dass unendlich viele A_n eintreten, und ist ein Teilereignis von jedem der im vorigen Satz erwähnten Ereignisse, und seine Wahrscheinlichkeit ist somit nicht größer als sämtliche Glieder einer Nullfolge, also 0, was zu beweisen war.

Anwendung

Aus dem Lemma von Borel-Cantelli ergibt sich folgendes nützliche Kriterium für die fast sichere Konvergenz von Zufallsvariablen:

Sei X eine Zufallsvariable und $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ eine Folge von Zufallsvariablen über einem gewissen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$.

Wenn $\sum_{n=1}^\infty P( | X_n - X | > \varepsilon ) < \infty$ für jedes $\varepsilon > 0$, dann gilt $X_n \rightarrow X$ fast sicher.

Beispiel

Betrachte die Dualzahldarstellung einer beliebigen reellen Zahl zwischen 0 und 1. Diese Darstellung besteht nur aus Nullen und Einsen. Wählt man eine beliebige reelle Zahl aus, dann kann jede Ziffer entweder Null oder Eins sein. Wir können nun den Wert für jede Ziffer als Zufallsvariable auffassen, deren Wert entweder 1 oder 0 ist. Das in der Definition gegebene A_n ist also 1 oder 0, wobei n die n-te Nachkommastelle beschreibt.

Wir fragen nun nach der Wahrscheinlichkeit, dass in der Dualzahldarstellung einer beliebigen reellen Zahl unendlich viele Einsen vorkommen, oder anders ausgedrückt, dass das Ereignis A_n = 1 unendlich oft vorkommt. Es ist intuitiv klar, dass die Wahrscheinlichkeit für 0 oder 1 für jede Ziffer gleich groß ist, wenn die ausgewählte Zahl wirklich beliebig ist, d.h. $P(A_n=0) = P(A_n=1) = \frac{1}{2}$

für alle n. Damit ist $\sum P(A_n=1) = \infty$ und nach dem Lemma von Borel-Cantelli folgt somit, dass P(A) = 1, wobei A bedeutet, dass unendlich viele Einsen vorkommen. Damit ist gezeigt, dass die Dualzahldarstellung einer beliebigen reellen Zahl (zwischen 0 und 1, aber das lässt sich selbstverständlich auf alle reellen Zahlen ausdehnen) fast sicher unendlich viele Einsen enthält. Analog gilt dies auch für Nullen. Somit ist die Menge der Zahlen, die nur endlich viele Einsen oder Nullen enthalten, eine Nullmenge.

Einzelnachweise

1. ↑ Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie, Gruyter, 5. Auflage, ISBN 3110172364, Lemma 11.1