Boxscher M-Test

Der Boxsche M-Test ist ein Verfahren aus der mathematischen Statistik. Er wird in den multivariaten Verfahren angewendet, beispielsweise bei der Diskriminanzanalyse zum Test auf Gleichheit von Streuungen in Gruppen.

Vorausgesetzt wird, dass die m-dimensionalen Daten in den p Gruppen multivariat normalverteilt sind: N(μ_k;Σ_k) mit Erwartungswertvektoren μ_k = (μ_k1,...,μ_km) und Kovarianzmatrizen Σ_k = (σ_k;rs)_{r,s = 1,...,m} verteilt (k = 1,...,p).

Die Hypothese soll geprüft werden, dass alle Kovarianzmatrizen gleich sind, also

H₀:Σ₁ = Σ₂ = ... = Σ_p vs. H₁: es gibt min. ein Paar i und j mit $\Sigma_i \neq \Sigma_j$.

Die Prüfgröße für den Test ist das so genannte M von Box,

$M= \gamma \sum _{k=1}^p(n_k - 1) \cdot \log| S_k^{-1} \cdot S|$

wobei

$\gamma =1- \frac {2m^2 + 3m-1} {6 \cdot (m + 1) \cdot (p-1)} \left(\sum _{k=1}^p \frac {1} {n_k -1} - \frac {1} {n-p} \right)$

als Korrektur dient. Die Kovarianzmatrix Σ_k wird aus den Beobachtungen, die zur Gruppe k gehören, geschätzt

$s_{k;rs} = \frac {1} {n_k-1} \sum_{i=1}^{n_k} (x_{ir}- \bar x_r) (x_{is}- \bar x_s)$

und die gepoolte, also mittlere, Kovarianzmatrix durch

$S=\frac {1}{n-p} \sum_{k=1}^p (n_k - 1) \cdot S_k .$

Bei jeweils genügend großem n_k ist die Prüfgröße annähernd χ²-verteilt mit m(m+1)(p-1)/2 Freiheitsgraden. Wenn die S_k sich insgesamt sehr von S unterscheiden, wird der Wert der Prüfgröße hoch. H₀ wird also beim Signifikanzniveau α abgelehnt, wenn M größer ist als das 1-α-Quantil der χ²-Verteilung mit m(m+1)(p-1)/2 Freiheitsgraden.

Der Test reagiert sensitiv auf Verletzungen der Voraussetzung der multivariaten Normalverteilung.