Brusselator

Der Brüsselator ist ein einfaches Modell zur Beschreibung chemischer Oszillatoren. Der Brüsselator wurde von Ilya Prigogine und René Lefever an der Université Libre de Bruxelles in Belgien entwickelt, daher auch der Name.

Es handelt sich um ein einfaches System von vier Reaktionsgleichungen, die zwar physikalisch sinnlos sind (der autokatalytische Schritt ist so in der Natur nicht möglich), aber ein einfaches Modell bilden, das alle Phänomene von chemischen Oszillatoren (wie der Belousov-Zhabotinsky-Reaktion) widerspiegelt. Ein physikalisch realistisches Modellsystem für chemische Oszillationen wurde 1995 an der Humboldt-Universität zu Berlin entwickelt ("Berlinator": smallest chemical reaction system with Hopf bifurcation).

I	A	→	X
II	B + X	→	Y + C
III	2X + Y	→	3X	(autokatalytisch)
IV	X	→	D
V	A + B	→	C + D

Die Reaktionsgeschwindigkeiten werden durch die Konstante k₁ bis k₄ widergespiegelt. Die Konzentrationen von A und B werden immer konstant gehalten und die Produkte C und D werden ständig abgeführt. Man hat also ein thermodynamisch offenes System und kann zwei Ratengleichungen für die Konzentration von X und Y aufstellen:

$\frac{dX}{dt}=k_1A - k_2BX + k_3X^2Y - k_4X$

$\frac{dY}{dt}=k_2BX - k_3X^2Y$

Diese Differentialgleichungen können numerisch gelöst werden. Für die Anfangsbedingungen A=1; B=3; X₀=Y₀=1; k₁=k₂=k₃=k₄=1 erhält man die Graphen in folgender Abbildung (rote Kurve Y, blaue Kurve X):

Man kann das Modell auch auf ein Reaktions-Diffusions-Modell erweitern und erhält dann ein Bild, wie es neben dem Graphen zu sehen ist. Die Differentialgleichungen lauten dann:

$\frac{\partial X(\vec x,t)}{\partial t}=D_X\cdot\nabla^2X(\vec x,t)+k_1A - k_2BX(\vec x,t) + k_3X^2(\vec x,t)Y(\vec x,t) - k_4X(\vec x,t)$

$\frac{\partial Y(\vec x,t)}{\partial t}=D_Y\cdot\nabla^2Y(\vec x,t)+k_2BX(\vec x,t) - k_3X^2(\vec x,t)Y(\vec x,t)$

Hierin ist $\vec x$ ein Punkt im Raum und $\nabla^2$ bezeichnet den Laplace-Operator, also in kartesischen Koordinaten die Summe der zweiten räumlichen Ableitungen.

Literatur

• Dilip Kondepudi, Ilya Prigogine: Modern Thermodynamics. From Heat Engines to Dissipative Structures. John Wiley & Sons, Weinheim, New York 1998

Weblinks

• http://jkrieger.de/download/reakt_diff_vortrag.pdf