Durchschnittlich erfasste Varianz

Die durchschnittlich erfasste Varianz (DEV; engl. average variance extracted, AVE) ist in der multivariaten Statistik eine Maßzahl wie gut eine einzelne latenten Variable (Konstrukt) η seine Indikatoren y_i (i = 1,...,p) erklärt. Dabei wird die Varianz eines jeden Indikators zerlegt in die Varianz ($\lambda_i^2$ = der quadrierte Regressionskoeffizient), erklärt durch das Konstrukt, und eine Fehlervarianz ($\operatorname{Var}(\epsilon_i)$), nicht erklärt durch das Konstrukt:

$DEV = \frac{ \sum_{i=1}^p \lambda_i^2 }{ \sum_{i=1}^p \lambda_i^2 + \sum_{i=1}^p \operatorname{Var}( \epsilon_i ) }$.

Die DEV kann Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Für ein gutes Konstrukt sollte gelten: DEV > 0,5, d.h. im Durchschnitt sollen mehr als 50% Varianz eines jeden Indikators durch das Konstrukt erklärt werden bzw. von der Gesamtvarianz aller Indikatoren wird mindestens die Hälfte durch das Konstrukt erklärt (und damit mehr als durch die Fehlervarianzen).

Ist die DEV eines Konstrukts höher als jede quadrierte Korrelation mit einem anderen Konstrukt, so kann auf Konstruktebene von Diskriminanzvalidität ausgegangen werden. Dieses Gütemaß wird als Fornell-Larcker-Kriterium bezeichnet, die DEV vorgeschlagen haben.^[1]

Die durchschnittlich erfasste Varianz ist neben Cronbachs Alpha und der Faktorreliabilität (composite reliability) eine der wichtigsten Größen zur Prüfung der Reliabilität einer Messskala.

Mathematische Ableitung

Ausgehend vom Meßmodell

$y_i = \lambda_i \eta + \epsilon_i$

folgt

$Var(y_i) = \lambda_i^2 + \operatorname{Var} (\epsilon_i)$.

unter der Voraussetzung der Unabhängigkeit von η und $\epsilon_i$ und $\operatorname{Var} (\eta)=1$. Dies ist z.B. gegeben bei Berechnung der Koeffizienten λ_i mit Hilfe der Faktorenanalyse.

Die durchschnittlich erfasste Varianz ist dann die durch das Konstrukt erklärte totale Varianz der Indikatoren:

$DEV = \frac{\sum_{i=1}^p \lambda_i^2}{ \sum_{i=1}^p \operatorname{Var}(y_i)} = \frac{\sum_{i=1}^p \lambda_i^2}{ \sum_{i=1}^p \left(\lambda_i^2 + \operatorname{Var} (\epsilon_i)\right) } = \frac{\sum_{i=1}^p \lambda_i^2}{ \sum_{i=1}^p \lambda_i^2 + \sum_{i=1}^p \operatorname{Var} (\epsilon_i) }.$

Werden die Koeffizienten λ_i mit Hilfe der Faktoranalyse auf Basis der Korrelationmatrix durchgeführt, so wird lautet das Meßmodell eigentlich:

$z_i = \lambda_i \eta + \epsilon_i$

mit den standardisierten Variablen $z_i=(y_i-\bar{y}_i)/s_{y_i}$ und $\bar{y}_i$ das arithmetische Mittel sowie $s_{y_i}$ die Standardabweichung der Variablen y_i. Für die standardisierte Variable gilt:

$1=\operatorname{Var}(z_i) = \lambda_i^2 + \operatorname{Var}(\epsilon_i) \Longrightarrow \operatorname{Var}(\epsilon_i) = 1-\lambda_i^2$.

Einzelnachweise

1. ↑ Claes Fornell, David F. Larcker: Evaluating Structural Equation Models with Unobservable Variables and Measurement Error. In: Journal of Marketing Research. 18, Februar 1981, S. 39-50.