Totale Varianz

Die totale Varianz ist ein Maß in der Statistik für die Streuung eines multivariaten Datensatzes (mit p Variablen X_j):

$T = \sum_{j=1}^p \operatorname{Var}(X_j)= \sum_{j=1}^p \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_{ij}-\bar{x}_j)^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \underbrace{\sum_{j=1}^p (x_{ij}-\bar{x}_j)^2}_{=d ^2(x_i, \bar{x})}$

mit x_ij die ite Beobachtung in der Variable j, $\bar{x}_j$ das arithmetische Mittel der Beobachtungen in der Variablen j und $d ^2(x_i, \bar{x})$ die quadrierte euklidische Distanz zwischen der multivariaten Beobachtung $x_i=(x_{i1},\ldots,x_{ip})$ und dem Mittelpunkt der Daten $\bar{x}=(\bar{x}_1,\ldots,\bar{x}_p)$.

Sie ist damit eine Erweiterung der empirischen Varianz einer Variablen auf den multivariaten Fall:

$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \underbrace{(x_{i}-\bar{x})^2}_{=d^2(x_i, \bar{x})}.$

Eine wichtige Eigenschaft der totalen Varianz ist ihre Invarianz unter einer Rotation des Datensatzes, d.h. die totale Varianz der rotierten Daten ist gleich der totalen Varianz der unrotierten Daten. Dies gilt, da die totale Varianz der mittlere Abstand der Beobachtung zum Datensatzmittelpunkt ist.

Die totale Varianz steht in einem engen Zusammenhang mit der Kovarianzmatrix der Daten, welche ebenfalls als eine Verallgemeinerung der univariaten Varianz betrachtet werden kann, aber von der gewählten Basis abhängt. Die totale Varianz ist dann gerade die Spur dieser Matrix, sie ist also gleichzeitig die Summe der Eigenwerte der Kovarianzmatrix.

Der Anteil der erklärten totalen Varianz wird daher in der Hauptkomponentenanalyse, der Faktoranalyse und der Clusteranalyse als ein Maß benutzt, ob die vorgenommene Datenreduktion den multivariaten Datensatz gut widerspiegelt. Bei der Verwendung dieses Maßes in der Clusteranalyse spricht man von einer „internen Validierung“, da sie ohne zusätzliche externe Information auskommt.