Bertrandsches Postulat

Das Bertrandsche Postulat (auch Satz von Bertrand-Tschebyschow) ist ein Theorem, welches besagt, dass es für natürliche Zahlen n ≥ 1 immer eine Primzahl p zwischen der Zahl und dem doppelten der Zahl gibt, dass also gilt: n < p ≤ 2n.

Diese Behauptung wurde zuerst 1845 von dem Mathematiker Joseph Bertrand aufgestellt, der sie für natürliche Zahlen bis 3.000.000 bewies. Der erste vollständige Beweis für alle natürlichen Zahlen wurde von Tschebyschow fünf Jahre später geliefert. Ein weiterer, einfacherer Beweis wurde von dem indischen Mathematiker S. Ramanujan geliefert. Des Weiteren führte auch Paul Erdős 1932 einen einfachen Beweis.

Beweis für n ≤ 4000

Für die ersten 4000 natürlichen Zahlen lassen sich einfach Primzahlen angeben, sodass die Behauptung gilt. Für die Primzahlenfolge 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259, 2503, 4001 ist je ein Folgenglied kleiner als das doppelte der vorhergehenden Primzahl. Somit gilt die Behauptung für n ≤ 4000.

Quellen

• Das BUCH der Beweise. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42535-7 (3. Auflage: ISBN 978-3-642-02258-6)