Ext (Mathematik)

Ext (Mathematik)

Ext ist ein Bifunktor, der in der homologischen Algebra eine zentrale Rolle spielt.

Definition

Sei A eine abelsche Kategorie. Zu zwei Objekten X und Z der Kategorie A sei E die Klasse der kurzen exakten Sequenzen der Form

0\longrightarrow X\longrightarrow Y\longrightarrow Z\longrightarrow 0.

Auf E wird nun eine Äquivalenzrelation definiert. Zwei exakte Sequenzen 0\longrightarrow X\longrightarrow Y\longrightarrow Z\longrightarrow 0 und 0\longrightarrow X\longrightarrow Y'\longrightarrow Z\longrightarrow 0 sind äquivalent, wenn es einen Morphismus g:Y\to Y' gibt, so dass das Diagramm

\begin{matrix}
0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0\\
& & \downarrow \operatorname{id}  && \downarrow g && \downarrow \operatorname{id}\\
0 & \to & X & \to & Y' & \to & Z & \to & 0
\end{matrix}

kommutiert. Dabei ist \operatorname{id} der identische Morphismus.

Dabei folgt sofort aus dem Fünferlemma, dass wenn es solch einen Morphismus g gibt, dieser ein Isomorphismus sein muss. Die Klasse E modulo dieser Äquivalenzrelation ist eine Menge und wird als Ext(Z,X) bezeichnet. Auf dieser Menge lässt sich eine Gruppenstruktur definieren.

Von Morphismen in der abelschen Kategorie werden Morphismen zwischen den Ext-Gruppen in folgender Weise induziert.

Zu g:X\to X' und der Sequenz 0\longrightarrow X\longrightarrow Y\longrightarrow Z\longrightarrow 0 kann man den Push-out bilden:

\begin{matrix}
0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0\\
& & \downarrow g  && \downarrow  && \\
0 & \to & X' & \to & Y' 
\end{matrix}.

Wegen der universellen Eigenschaft des Push-outs gibt es einen induzierten Epimorphismus von Y' nach Z, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

\begin{matrix}
0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0\\
& & \downarrow g  && \downarrow  && \downarrow \operatorname{id} \\
0 & \to & X' & \to & Y' & \to & Z & \to & 0
\end{matrix}

Dabei ist die untere Zeile ebenfalls exakt und ihre Restklasse somit ein Element in Ext(Z,X').

Die Restklasse von 0\longrightarrow X\longrightarrow Y\longrightarrow Z\longrightarrow 0 wird dann auf 0\longrightarrow X'\longrightarrow Y'\longrightarrow Z\longrightarrow 0 abgebildet.

Dual funktioniert das auch mit Morphismen von Z' nach Z: Zu g:Z'\to Z und der Sequenz 0\longrightarrow X\longrightarrow Y\longrightarrow Z\longrightarrow 0 kann man den Pull-back bilden:

\begin{matrix}
 & & & & Y' & \to & Z' & \to & 0\\
& & && \downarrow  && \downarrow g\\
0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0
\end{matrix}.

Wegen der universellen Eigenschaft des Pull-backs gibt es einen induzierten Monomorphismus von X nach Y', so dass das folgende Diagramm kommutiert:

\begin{matrix}
0 & \to & X & \to & Y' & \to & Z' & \to & 0\\
& & \downarrow \operatorname{id}  && \downarrow  && \downarrow g \\
0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0
\end{matrix}

Dabei ist die obere Zeile ebenfalls exakt und ihre Restklasse somit ein Element in Ext(Z',X).

Die Restklasse von 0\longrightarrow X\longrightarrow Y\longrightarrow Z\longrightarrow 0 wird dann auf 0\longrightarrow X\longrightarrow Y'\longrightarrow Z'\longrightarrow 0 abgebildet.

Alternative Definition

Eine andere Möglichkeit der Definition verwendet die abgeleiteten Funktoren von Hom. Daher wird die oben definierte Menge auch mit Ext1 bezeichnet.

Literatur

  • Sergei I. Gelfand & Yuri Ivanovich Manin: Homological Algebra, Springer, Berlin, 1999, ISBN 978-3-540-65378-3
  • Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-55987-4

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