Ext (Mathematik)

Ext ist ein Bifunktor, der in der homologischen Algebra eine zentrale Rolle spielt.

Definition

Sei A eine abelsche Kategorie. Zu zwei Objekten X und Z der Kategorie A sei E die Klasse der kurzen exakten Sequenzen der Form

$0\longrightarrow X\longrightarrow Y\longrightarrow Z\longrightarrow 0.$

Auf E wird nun eine Äquivalenzrelation definiert. Zwei exakte Sequenzen $0\longrightarrow X\longrightarrow Y\longrightarrow Z\longrightarrow 0$ und $0\longrightarrow X\longrightarrow Y'\longrightarrow Z\longrightarrow 0$ sind äquivalent, wenn es einen Morphismus $g:Y\to Y'$ gibt, so dass das Diagramm

$\begin{matrix} 0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0\\ & & \downarrow \operatorname{id} && \downarrow g && \downarrow \operatorname{id}\\ 0 & \to & X & \to & Y' & \to & Z & \to & 0 \end{matrix}$

kommutiert. Dabei ist $\operatorname{id}$ der identische Morphismus.

Dabei folgt sofort aus dem Fünferlemma, dass wenn es solch einen Morphismus g gibt, dieser ein Isomorphismus sein muss. Die Klasse E modulo dieser Äquivalenzrelation ist eine Menge und wird als Ext(Z,X) bezeichnet. Auf dieser Menge lässt sich eine Gruppenstruktur definieren.

Von Morphismen in der abelschen Kategorie werden Morphismen zwischen den Ext-Gruppen in folgender Weise induziert.

Zu $g:X\to X'$ und der Sequenz $0\longrightarrow X\longrightarrow Y\longrightarrow Z\longrightarrow 0$ kann man den Push-out bilden:

$\begin{matrix} 0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0\\ & & \downarrow g && \downarrow && \\ 0 & \to & X' & \to & Y' \end{matrix}.$

Wegen der universellen Eigenschaft des Push-outs gibt es einen induzierten Epimorphismus von Y' nach Z, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

$\begin{matrix} 0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0\\ & & \downarrow g && \downarrow && \downarrow \operatorname{id} \\ 0 & \to & X' & \to & Y' & \to & Z & \to & 0 \end{matrix}$

Dabei ist die untere Zeile ebenfalls exakt und ihre Restklasse somit ein Element in Ext(Z,X').

Die Restklasse von $0\longrightarrow X\longrightarrow Y\longrightarrow Z\longrightarrow 0$ wird dann auf $0\longrightarrow X'\longrightarrow Y'\longrightarrow Z\longrightarrow 0$ abgebildet.

Dual funktioniert das auch mit Morphismen von Z' nach Z: Zu $g:Z'\to Z$ und der Sequenz $0\longrightarrow X\longrightarrow Y\longrightarrow Z\longrightarrow 0$ kann man den Pull-back bilden:

$\begin{matrix} & & & & Y' & \to & Z' & \to & 0\\ & & && \downarrow && \downarrow g\\ 0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0 \end{matrix}.$

Wegen der universellen Eigenschaft des Pull-backs gibt es einen induzierten Monomorphismus von X nach Y', so dass das folgende Diagramm kommutiert:

$\begin{matrix} 0 & \to & X & \to & Y' & \to & Z' & \to & 0\\ & & \downarrow \operatorname{id} && \downarrow && \downarrow g \\ 0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0 \end{matrix}$

Dabei ist die obere Zeile ebenfalls exakt und ihre Restklasse somit ein Element in Ext(Z',X).

Die Restklasse von $0\longrightarrow X\longrightarrow Y\longrightarrow Z\longrightarrow 0$ wird dann auf $0\longrightarrow X\longrightarrow Y'\longrightarrow Z'\longrightarrow 0$ abgebildet.

Alternative Definition

Eine andere Möglichkeit der Definition verwendet die abgeleiteten Funktoren von Hom. Daher wird die oben definierte Menge auch mit Ext¹ bezeichnet.

Literatur

• Sergei I. Gelfand & Yuri Ivanovich Manin: Homological Algebra, Springer, Berlin, 1999, ISBN 978-3-540-65378-3
• Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-55987-4