- Ext (Mathematik)
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Ext ist ein Bifunktor, der in der homologischen Algebra eine zentrale Rolle spielt.
Definition
Sei A eine abelsche Kategorie. Zu zwei Objekten X und Z der Kategorie A sei E die Klasse der kurzen exakten Sequenzen der Form
Auf E wird nun eine Äquivalenzrelation definiert. Zwei exakte Sequenzen
und
sind äquivalent, wenn es einen Morphismus
gibt, so dass das Diagramm
kommutiert. Dabei ist
der identische Morphismus.
Dabei folgt sofort aus dem Fünferlemma, dass wenn es solch einen Morphismus g gibt, dieser ein Isomorphismus sein muss. Die Klasse E modulo dieser Äquivalenzrelation ist eine Menge und wird als Ext(Z,X) bezeichnet. Auf dieser Menge lässt sich eine Gruppenstruktur definieren.
Von Morphismen in der abelschen Kategorie werden Morphismen zwischen den Ext-Gruppen in folgender Weise induziert.
Zu
und der Sequenz
kann man den Push-out bilden:
Wegen der universellen Eigenschaft des Push-outs gibt es einen induzierten Epimorphismus von Y' nach Z, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
Dabei ist die untere Zeile ebenfalls exakt und ihre Restklasse somit ein Element in Ext(Z,X').
Die Restklasse von
wird dann auf
abgebildet.
Dual funktioniert das auch mit Morphismen von Z' nach Z: Zu
und der Sequenz
kann man den Pull-back bilden:
Wegen der universellen Eigenschaft des Pull-backs gibt es einen induzierten Monomorphismus von X nach Y', so dass das folgende Diagramm kommutiert:
Dabei ist die obere Zeile ebenfalls exakt und ihre Restklasse somit ein Element in Ext(Z',X).
Die Restklasse von
wird dann auf
abgebildet.
Alternative Definition
Eine andere Möglichkeit der Definition verwendet die abgeleiteten Funktoren von Hom. Daher wird die oben definierte Menge auch mit Ext1 bezeichnet.
Literatur
- Sergei I. Gelfand & Yuri Ivanovich Manin: Homological Algebra, Springer, Berlin, 1999, ISBN 978-3-540-65378-3
- Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-55987-4
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