- Hom (Mathematik)
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In der Kategorientheorie bezeichnet
(oder einfach
, wenn der Bezug zur Kategorie klar ist) die Menge der Homomorphismen (oder Morphismen) von einem Objekt A zu einem Objekt B einer Kategorie C und zählt somit zu den grundlegenden Daten einer Kategorie. Wenn beispielsweise die Objekte der Kategorie aus „Mengen mit zusätzlichen Eigenschaften“ bestehen (z. B. Gruppen, topologische Räume), so sind die zugehörigen Morphismen i. a. genau die mit diesen Eigenschaften verträglichen Abbildungen (z. B. Gruppenhomomorphismen, stetige Abbildungen).
Hom als Funktor
Man kann
jedoch auch auffassen als Abbildung, die jedem Paar (A,B) von C-Objekten eine Menge
zuordnet. Man hat jedoch noch mehr: Ist
ein C-Morphismus, also ein Element von
, so kann man jedem
den Homomorphismus
zuordnen und erhält so eine Abbildung
Ebenso erhält man zu einem Homomorphismus
eine Abbildung
indem man h auf
abbildet. Kombiniert erhält man eine Abbildung
Man verifiziert leicht die folgenden Eigenschaften:
, wobei
usw. die Identität des jeweiligen Objektes bezeichnet.
, soweit die Verknüpfungen definiert sind (d. h. entsprechende Definitions- und Zielbereiche übereinstimmen).
In der kategorientheoretischen Sprache kann man dies unter Verwendung der Begriffe der dualen Kategorie und der Produktkategorie so ausdrücken:
ist ein Funktor von
in die Kategorie Set der Mengen. Man beachte: Objekte von
sind Paare (A,B) von C-Objekten, Morphismen von (A,B) nach (A',B') sind Paare (f,g) von Morphismen, wobei
und
ist, und es ist
, soweit definiert.
Insbesondere haben wir dann zu einem festen Objekt
einen kovarianten Funktor
und einen kontravarianten Funktor
von C nach Set.
Verträglichkeit mit Zusatzstrukturen
Im allgemeinen ist
lediglich eine Menge und trägt selbst nicht automatisch eine zusätzliche Struktur, abgesehen etwa davon, dass die Endomorphismen
unter Komposition ein Monoid mit
als neutralem Element bilden. Sind jedoch beispielsweise die Objekte von C abelsche Gruppen oder R-Moduln für einen Ring R, so können Homomorphismen punktweise addiert und/oder mit Elementen aus R multipliziert werden, und somit bildet
dann selbst eine abelsche Gruppe bzw. einen R-Modul. Man überprüft dann unmittelbar, dass die oben definierten Zuordnungen hiermit verträglich sind und dass somit
in diesen Fällen sogar als Funktor in die Kategorie Ab der abelschen Gruppen bzw. die Kategorie R-Mod der R-Moduln aufgefasst werden kann.
Je nach betrachteter Kategorie C sind weitere solche Zusatzstrukturen auf
möglich. Weist man auch dort die Verträglichkeit der Zuordnungen nach, ist also wiederum gerechtfertigt,
als Funktor in eine entsprechend aussagekräftigere Kategorie aufzufassen.
Anwendungen
Bei der Untersuchung abelscher Kategorien spielt auch der Ext-Funktor, der abgeleitete Funktor zu Hom, eine wichtige Rolle.
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