Grundgesetz der Werthverläufe

Gottlob Freges Grundgesetz der Werthverläufe (Grundgesetz V, engl. "basic law V") ist ein Axiomenschema der naiven Mengenlehre^[1].

Freges Voraussetzung kann so vergestellt werden, dass der Wertverlauf einer Funktion f eine Menge geordneter Paare von Werten f(x) und korrespondierenden Argumenten x bildet. Grundgesetz V sagt nun aus, dass der Wertverlauf einer Funktion f identisch ist zu dem einer Funktion g gdw. f und g jedes Objekt auf denselben Wert abbilden. Im Falle von Begriffen: der Begriffsumfang (die Extension, d.i. die Menge der Objekte, welche unter einen Begriff fallen) des Begriffs F ist identisch mit dem Begriffsumfang des Begriffs G genau dann, wenn alle Objekte, welche unter F fallen, auch unter G fallen (materielle Äquivalenz).

Frege vertritt nun außerdem ein Substitutionsprinzip, welches aussagt, dass es für jedes Prädikat F mit einer freien Variablen x einen korrespondierenden Begriff gibt bzw. eine Menge gibt, welche alle Objekte einschließt, die unter F fallen. Dies ist eine Variante eines unbeschränkten Komprehensionsaxioms (engl. axiom schema of specification / separation / comprehension). Die naiven Mengenlehren des 19. Jahrhunderts hatten üblicherweise die Existenz bzw. Erzeugbarkeit solcher Mengen zugelassen. Beide Prinzipien zusammen genommen haben aber zur Folge, dass in Freges System die Russellsche Antinomie erzeugbar ist.

Bertrand Russell hatte Frege in einem Brief auf dieses Problem hingewiesen. Zu Anfang des 20. Jahrhunderts wurden unterschiedliche Vorschläge erarbeitet, um zu einer konsistenten Mengenlehre zu gelangen. Die seither bei weitem verbreitetste Lösung besteht darin, in axiomatisierten Mengenlehren eine beschränkte Variante eines Komprehensions- bzw. Aussonderungsaxioms (engl. restricted comprehension) zu verwenden.

Nach einem Vorschlag von Crispin Wright,^[2] dessen Durchführbarkeit durch George Boolos und Richard G. Heck^[3] formal bewiesen wurde, kann für eine Axiomatisierung der Arithmetik das Gesetz V durch Humes Prinzip ersetzt werden, so dass man ebenfalls eine konsistente Theorie erhält. Dies ist ein grundlegender Baustein der von Wright und Bob Hale^[4] intendierten Wiederbelebung des Fregeschen Programms einer Reduktion von Arithmetik auf Logik - man nennt sie daher Vertreter eines "Neo-Logizismus".

Einzelnachweise

1. ↑ Grundgesetze der Arithmetik. Band 1, 1893 (Digitalisierung bei korpora.org).
2. ↑ Frege’s Conception of numbers as objects. In: Scots Philosophical Monographs. Band 2. Aberdeen University Press, Aberdeen 1983.
3. ↑ Vgl. u.a. R. Heck: On the consistency of second-order contextual definitions. In: Nous. 26, 1992, S. 491–494.
4. ↑ Vgl. u.a. B. Hale: Reals by abstraction. In: Philosophia Mathematica. 8, 2000, S. 100–123.

Literatur

• Adam Rieger: Paradox without Basic Law V. In: Analysis. 62/4, 2002, S. 327–330. (Freges ontologische These, dass Gedanken Objekte sind, führt auch ohne Grundgesetz V zu Antinomien.)
• Charles Sayward: Convention T and Basic Law V. In: Analysis. 62/4, 2002, S. 289–292. (Grundgesetz V ist falsch, weil es Widersprüche erzeugt, aber keine Paradoxien.)

Weblinks

• Edward N. Zalta: Frege's Logic, Theorem, and Foundations for Arithmetic, in: Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)
• Richard G. Heck, Jr.: Julius Caesar and Basic Law V. In: dialectica. 59/2, 2005, S. 161–178. (Hume's Prinzip und Grundgesetz V als basales Axiom zu akzeptieren hat jeweils dieselben Gegengründe, aber Hume's Prinzip erschien unplausibler, um das logizistische Programm zu motivieren.)