Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist eine verbreitete axiomatische Mengenlehre, die nach Ernst Zermelo und Abraham Adolf Fraenkel benannt ist. Sie ist heute Grundlage fast aller Zweige der Mathematik. Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne Auswahlaxiom wird durch ZF abgekürzt, mit Auswahlaxiom durch ZFC (wobei das C für das engl. Wort choice, also Auswahl oder Wahl steht).

Geschichte

Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist eine Erweiterung der Zermelo-Mengenlehre von 1907, die auf Axiomen und Anregungen von Fraenkel von 1921 beruht. Fraenkel ergänzte das Ersetzungsaxiom und plädierte für reguläre Mengen ohne zirkuläre Elementketten und für eine reine Mengenlehre, deren Objekte nur Mengen sind. Zermelo komplettierte 1930 das Axiomensystem der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, das er selbst als ZF-System bezeichnete: Er nahm das Ersetzungsaxiom Fraenkels auf und fügte das Fundierungsaxiom hinzu, um zirkuläre Elementketten auszuschließen. Das originale ZF-System ist verbal und kalkuliert auch Urelemente ein, die keine Mengen sind. Auf solche Urelemente verzichten spätere formalisierte ZF-Systeme meist und setzen damit Fraenkels Ideen vollständig um. Die erste präzise prädikatenlogische Formalisierung der reinen ZF-Mengenlehre schuf Thoralf Skolem 1929 (noch ohne Fundierungsaxiom). Diese Tradition hat sich durchgesetzt, so dass heute das Kürzel ZF für die reine Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre steht. Die dem originalen ZF-System näherstehende Version mit Urelementen wird heute aber auch noch gebraucht und zur klaren Unterscheidung als ZFU bezeichnet.

Bedeutung

Es hat sich gezeigt - dies ist eine empirische Feststellung -, dass sich so gut wie alle bekannten mathematischen Aussagen so formulieren lassen, dass sich beweisbare Aussagen aus ZFC ableiten lassen.^[1] Die ZFC-Mengenlehre ist daher ein bewährter und weithin akzeptierter Rahmen für die ganze Mathematik geworden. Ausnahmen finden sich zwar überall dort, wo man mit echten Klassen arbeiten muss oder will. Man benutzt dann gewisse Erweiterungen von ZFC, die Klassen oder zusätzliche sehr große Mengen zur Verfügung stellen, etwa eine Erweiterung zur ZFC-Klassenlogik oder die Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre oder ein Grothendieck-Universum. In jedem Fall wird ZFC heute aber als das grundlegende Axiomensystem für die Mathematik angesehen.

Wegen der grundlegenden Bedeutung der ZFC-Mengenlehre für die Mathematik wurde seit 1918 im Rahmen des Hilbert-Programms ein Widerspruchsfreiheitsbeweis für die Mengenlehre gesucht.^[2] Gödel, der sich mit wichtigen Beiträgen an diesem Programm beteiligte, konnte aber 1930 in seinem Zweiten Unvollständigkeitssatz zeigen, dass ein solcher Widerspruchsfreiheitsbeweis im Rahmen einer widerspruchsfreien ZFC-Mengenlehre unmöglich ist. Die Annahme der Widerspruchsfreiheit von ZFC bleibt daher eine durch Erfahrung gehärtete Arbeitshypothese der Mathematiker:

„Die Tatsache, dass ZFC seit Jahrzehnten untersucht und in der Mathematik benutzt wird, ohne dass sich ein Widerspruch gezeigt hat, spricht aber für die Widerspruchsfreiheit von ZFC.“

– Ebbinghaus u.a., Kap.VII, §4

Die Axiome von ZF und ZFC

ZF hat unendlich viele Axiome, da zwei Axiomenschemata (8. und 9.) verwendet werden, die zu jedem Prädikat mit bestimmten Eigenschaften je ein Axiom angeben. Als logische Grundlage dient die Prädikatenlogik der ersten Stufe mit Identität und dem undefinierten Elementprädikat $\in$.

1. Extensionalitätsaxiom oder Axiom der Bestimmtheit: Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

$\forall A,B\colon (A=B \iff\forall C\colon (C\in A \iff C\in B))$

2. Leermengenaxiom oder Nullmengenaxiom: Es gibt eine Menge ohne Elemente.

$\exist B\colon \forall A\colon \lnot (A \in B)$

Aus dem Extensionalitätsaxiom folgt unmittelbar die Eindeutigkeit dieser Menge B, das heißt, dass es auch nicht mehr als eine solche Menge gibt. Diese wird meist als $\varnothing$ geschrieben und leere Menge genannt. Das bedeutet: Die leere Menge ist in ZF das einzige Urelement. Andere Urelemente sind nur beim allgemeineren originalen Axiom der Bestimmtheit von Zermelo möglich.

3. Paarmengenaxiom: Für alle A und B gibt es eine Menge C, die genau A und B als Elemente hat.

$\forall A,B\colon \exist C\colon \forall D\colon (D\in C \iff (D=A \or D=B))$

Offenbar ist auch diese Menge C eindeutig bestimmt. Sie wird geschrieben als {A,B}. Die Menge {A,A} wird üblicherweise als {A} geschrieben.

4. Vereinigungsaxiom: Für jede Menge A gibt es eine Menge B, die genau die Elemente der Elemente von A als Elemente enthält.

$\forall A\colon \exist B\colon \forall C\colon (C\in B \iff \exist D\colon (D\in A \and C\in D))$

Auch die Menge B ist eindeutig bestimmt und heißt die Vereinigung der Elemente von A, geschrieben als $\bigcup A$. Zusammen mit dem Paarmengenaxiom lässt sich die Vereinigung $A \cup B := \bigcup \{A,B\}$ definieren.

5. Unendlichkeitsaxiom: Es gibt eine Menge A, die die leere Menge und mit jedem Element x auch die Menge $x \cup \{x\}$ enthält (vgl. Induktive Menge).

$\exist A\colon (\exist X \in A\colon \forall Y \in A\colon \lnot (Y\in X) \and \forall X\colon (X\in A \Rightarrow X \cup \{X\}\in A))$

Es gibt viele derartige Mengen. Der Schnitt aller dieser Mengen ist die kleinste Menge mit diesen Eigenschaften und bildet die Menge der natürlichen Zahlen; die Bildung der Schnittmenge erfolgt durch Anwendung des Aussonderungsaxioms (s.u.). Die natürlichen Zahlen werden also dargestellt durch

$\mathbb{N}\,:=\, \{ \varnothing, \, \{\varnothing\}, \, \{\varnothing,\{\varnothing\}\}, \, \{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\} \, ,\ldots \}$

6. Potenzmengenaxiom: Für jede Menge A gibt es eine Menge P, deren Elemente genau die Teilmengen von A sind.

$\forall A\colon \exists P\colon \forall B\colon (B\in P \iff \forall C\colon (C\in B \Rightarrow C\in A))$

Die Menge P ist eindeutig bestimmt. Sie heißt die Potenzmenge von A und wird mit ${\mathcal{P}(A)}$ bezeichnet.

7. Fundierungsaxiom oder Regularitätsaxiom: Jede nichtleere Menge A enthält ein Element B, so dass A und B disjunkt sind.

$\forall A\colon (A\neq \varnothing \Rightarrow \exists B\colon (B\in A \land \lnot \exist C\colon (C\in A \land C\in B)))$

Das Element B, welches zu A disjunkt ist, ist im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt.

Das Fundierungsaxiom verhindert, dass es unendliche oder zyklische Folgen von Mengen gibt, bei denen jeweils eine in der nächsten enthalten ist, $x_1 \ni x_2 \ni x_3 \ni\dots$, denn dann könnte man eine Menge $A = \{x_1, x_2, x_3, \dots \}$ bilden, die dem Axiom widerspricht: Für jedes $x_i \in A$ ist $x_{i+1} \in x_i \cap A$, die beiden Mengen sind also nicht disjunkt.

8. Aussonderungsaxiom: Hier handelt es sich um ein Axiomenschema mit je einem Axiom zu jedem einstelligen Prädikat P: Zu jeder Menge A existiert eine Teilmenge B von A, die genau die Elemente C von A enthält, für die P(C) wahr ist.

Für jedes einstellige Prädikat P gilt: $\forall A\colon \exist B\colon \forall C\colon (C\in B \iff C\in A \and P(C))$

Aus dem Extensionalitätsaxiom ergibt sich sofort, dass es genau eine solche Menge gibt. Diese wird mit $\{C \in A|P(C)\}$ notiert.

9. Ersetzungsaxiom (Fraenkel): Ist A eine Menge und wird jedes Element von A eindeutig durch eine beliebige Menge ersetzt, so geht A in eine Menge über.^[3] Die Ersetzung wird präzisiert durch zweistellige Prädikate mit ähnlichen Eigenschaften wie eine Funktion, und zwar als Axiomenschema für jedes zweistellige Prädikat $\,F$:

$\forall X,Y,Z\colon (F(X,Y) \and F(X,Z) \Rightarrow Y=Z) \Rightarrow \forall A\colon \exist B\colon \forall C\colon (C\in B \iff \exist D\colon (D\in A \and F(D, C)))$

Die Menge $\,B$ ist eindeutig bestimmt und wird als $\{ Y|D\in A \and F(D, Y)\}$ notiert.

In der Mathematik wird häufig auch das Auswahlaxiom benutzt, das ZF zu ZFC erweitert:

10. Auswahlaxiom: Ist A eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen, dann gibt es eine Menge, die genau ein Element aus jedem Element von A enthält. Dieses Axiom hat eine komplizierte Formel, die mit dem Eindeutigkeitsquantor $\exist!$ etwas vereinfacht werden kann:

$\forall A\colon ((\varnothing \not \in A)\ \wedge\ \forall X,Y,Z\colon ((X\in A\ \wedge\ Y\in A\ \wedge\ Z\in X\ \wedge\ Z\in Y) \Rightarrow (X=Y)))$

$\Rightarrow\;$

$\exist B\colon \forall X\colon (X \in A \Rightarrow \exist!\ Y\colon (Y \in X \wedge Y \in B))$

Eine andere übliche verbale Formulierung des Auswahlaxioms lautet: Ist A eine Menge nichtleerer Mengen, dann gibt es eine Funktion f (von A in seine Vereinigung), die jedem Element B von A ein Element von B zuordnet („ein Element von B auswählt“).

Mit den ZF-Axiomen kann man die Äquivalenz des Auswahlaxioms mit dem Wohlordnungssatz und dem Lemma von Zorn ableiten.

ZF mit Urelementen

Zermelo formulierte das originale ZF-System für Mengen, die er als elementhaltige Dinge oder die Nullmenge definierte,^[4] und für Urelemente als Dinge ohne Elemente. Die Nullmenge betrachtete er als ausgezeichnetes Urelement, das als gegebene Konstante $\varnothing$ die ZF-Sprache erweitert. Mengen und Urelemente sind dann durch folgende definierte Prädikate bestimmt:

$M\text{ ist nichtleer} \colon \iff \exists X\colon (X\in M)$

$M\text{ ist Menge}\colon \iff M\text{ ist nichtleer } \or M = \varnothing$

$U\text{ ist Urelement}\colon \iff \lnot (U\text{ ist nichtleer})$

Von der üblichen reinen ZF-Mengenlehre wird die Mengenlehre mit Urelementen unterschieden durch angehängtes U. Die Axiome von ZFU und ZFCU lauten abgesehen vom Leermengenaxiom verbal wie die Axiome von ZF oder ZFC, werden aber wegen der anderen Rahmenbedingungen anders formalisiert; ableitbare Mengenbedingungen können dabei entfallen.

ZFU

ZFU umfasst folgende Axiome:

Leermengenaxiom:

$\varnothing \text{ ist Urelement}$

Extensionalitätsaxiom:

$A\text{ ist Menge } \land B\text{ ist Menge } \Rightarrow (A=B \iff\forall C\colon (C\in A \iff C\in B))$

Vereinigungsaxiom:

$\forall A\colon \exist B\colon (B\text{ ist Menge } \land \forall C\colon (C\in B \iff \exist D\colon (D\in A \and C\in D)))$

Potenzmengenaxiom:

$\forall A\colon \exists P\colon \forall B\colon (B\in P \iff (B\text{ ist Menge } \land \forall C\colon (C\in B \Rightarrow C\in A)))$

Unendlichkeitsaxiom:

$\exist A\colon (\exist X \in A\colon \forall Y \in A\colon \lnot (Y\in X) \and \forall X\colon (X\in A \Rightarrow X \cup \{X\}\in A))$

Fundierungsaxiom:

$A\text{ ist nichtleer } \Rightarrow \exists B\colon (B\in A \land \lnot \exist C\colon (C\in A \land C\in B))$

Ersetzungsaxiom für zweistellige Prädikate F(X,Y):

$\forall X,Y,Z\colon (F(X,Y) \and F(X,Z) \Rightarrow Y=Z) \Rightarrow \forall A\colon \exist B\colon (B\text{ ist Menge } \wedge\ \forall C\colon (C\in B \iff \exist D\colon (D\in A \wedge\ F(D, C))))$

Aus den ZFU-Axiomen und dem Axiom $\forall X\colon X\text{ ist Menge}$ folgen offenbar die ZF-Axiome. Denn aus dem Ersetzungsaxiom ist wie in ZF (siehe unten) das Paarmengenaxiom ableitbar und auch das Aussonderungsaxiom, letzteres hier in folgender Form für jedes einstellige Prädikat P:

$\forall A\colon \exist B\colon (B\text{ ist Menge } \land \forall C\colon (C\in B \iff C\in A \and P(C)))$

ZFCU

ZFCU umfasst die Axiome von ZFU und folgendes Auswahlaxiom:

$\forall A\colon ((\forall X \colon (X \in A \Rightarrow X\text{ ist nichtleer})\ \wedge\ \forall X,Y,Z\colon ((X\in A\ \wedge\ Y\in A\ \wedge\ Z\in X\ \wedge\ Z\in Y) \Rightarrow (X=Y)))$

$\Rightarrow\;$

$\exist B\colon \forall X\colon (X \in A \Rightarrow \exist!\ Y\colon (Y \in X \wedge Y \in B))$

Vereinfachtes ZF-System (Redundanz)

Das ZF-System ist redundant, das heißt, es hat entbehrliche Axiome, die aus anderen ableitbar sind. ZF bzw. ZFU wird schon vollständig beschrieben durch das Extensionalitätsaxiom, Vereinigungsaxiom, Potenzmengenaxiom, Unendlichkeitsaxiom, Fundierungsaxiom und Ersetzungsaxiom. Das gilt wegen folgender Punkte:

• Das Aussonderungsaxiom folgt aus dem Ersetzungsaxiom (Zermelo).^[5][6][7]
• Das Leermengenaxiom folgt aus dem Aussonderungsaxiom.^[8]
• Das Paarmengenaxiom folgt aus dem Ersetzungsaxiom und dem Potenzmengenaxiom (Zermelo).^[5][7]

ZF-System ohne Gleichheit

Man kann ZF und ZFU auch auf einer Prädikatenlogik ohne Gleichheit aufbauen und die Gleichheit definieren. Zur Definition genügt aber nicht das Extensionalitätsaxiom. Die Ableitung aller Gleichheitsaxiome sichert nur die in der Logik übliche Identitätsdefinition:^[9]

$A=B :\iff \forall C\colon (A\in C \iff B\in C) \and \forall C\colon (C\in A \iff C\in B)$

Diese Definition macht das Extensionalitätsaxiom nicht überflüssig, weil es aus der Definition nicht ableitbar wäre.

Eine Gleichheitsdefinition durch die Extensionalität $A=B :\iff \forall C\colon (C\in A \iff C\in B)$ ist als Alternative in ZF nur dann möglich, wenn man das Axiom $A=B \Rightarrow \forall C\colon (A\in C \iff B\in C)$ hinzunimmt, was die Ableitbarkeit der obigen Formel sichert. Diese Möglichkeit scheidet natürlich bei ZFU aus.

Literatur

Primärquellen (chronologisch)

• Zermelo, Ernst: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, 1907, in: Mathematische Annalen 65 (1908) S. 261–281.
• Fraenkel, Adolf Abraham: Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre, 1921, in: Mathematische Annalen 86 (1922) S. 230–237.
• Skolem, Thoralf: Über einige Grundlagenfragen der Mathematik, 1929, in: selected works in logic, Oslo, 1970, S. 227–273.
• Zermelo, Ernst: Über Grenzzahlen und Mengenbereiche, in: Fundamenta Mathematicae 16 (1930), S. 29–47.

Sekundärliteratur

• Deiser, Oliver: Einführung in die Mengenlehre : Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. Springer, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20401-6.
• Ebbinghaus, Heinz-Dieter: Einführung in die Mengenlehre. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg-Berlin 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
• Fraenkel, Adolf: Einleitung in die Mengenlehre. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1928. Neudruck: Dr. Martin Sändig oHG, Walluf 1972, ISBN 3-500-24960-4.
• Halmos, Paul R.: Naive Mengenlehre. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1968, ISBN 3-525-40527-8.
• Hausdorff, Felix: Grundzüge der Mengenlehre. Chelsea Publ. Co., New York 1914,1949,1965.
• Oberschelp, Arnold: Allgemeine Mengenlehre, Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich, 1994.

Einzelnachweise

1. ↑ Ebbinghaus, Kap. VII, §4
2. ↑ David Hilbert: Axiomatisches Denken, in: Mathematische Annalen 78 (1918), 405-415. Dort kommt S. 411 die grundlegende Bedeutung der Widerspruchsfreiheit der Zermelo-Mengenlehre für die Mathematik zur Sprache.
3. ↑ Verbalisierung angelehnt an: Fraenkel: Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre, 1921, in: Mathematische Annalen 86 (1922), 231
4. ↑ Ernst Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, in: Mathematische Annalen 65 (1908) S. 262, §1 (2.) Mengendefinition.
5. ↑ ^{a b} Ernst Zermelo: Grenzzahlen und Mengenbereiche, Fundamenta Mathematicae 16 (1930), Bemerkung S. 31
6. ↑ Walter Felscher: Naive Mengen und abstrakte Zahlen I, , Mannheim, Wien, Zürich, 1978, S. 62.
7. ↑ ^{a b} Wolfgang Rautenberg: Grundkurs Mengenlehre, Fassung Berlin 2008, S.26
8. ↑ Rautenberg, S. 17.
9. ↑ Walter Felscher: Naive Mengen und abstrakte Zahlen I, Mannheim, Wien, Zürich, 1978, S. 78f.

Weblinks

• Laura Crosilla: Set Theory: Constructive and Intuitionistic ZF, in: Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)
• mathematik.de: Mengenlehre

Axiome und Axiomenschemata der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

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