HJM-Modell

Der Begriff HJM-Modell bezeichnet das Zinsstrukturmodell von Heath, Jarrow und Morton, ein Forward rate- und arbitragefreies Zinsstrukturmodell. Es wurde in der zeitdiskreten Form im Jahr 1990 vorgestellt. Nach etwa zwei Jahren, in 1992, erschien die kontinuierliche Version des Modells. Die Mehrheit der Zinsstrukturmodelle können als Spezialfälle des HJM-Modells interpretiert werden.

Als ein Einfaktormodell berücksichtigt es ausschließlich die Volatilität der Forward rate-Veränderungen als Risikofaktor. Das Modell lässt sich aber um eine beliebige Anzahl von Risikofaktoren erweitern. Durch das Hinzuziehen eines weiteren Risikofaktors kann nicht nur eine Verschiebung der Zinsstrukturkurve, sondern auch deren Drehung beschrieben werden. Aus Komplexitätsgründen wird oft ein diskretes Einfaktor-HJM-Modell zur Bewertung von europäischen Swaptions verwendet. Somit ergibt sich ein binomiales Bewertungsmodell, da die Auf- und Abwärtsbewegungen nur von einem Risikofaktor abhängen.

Vergleich von HJM-Modell und Black-76-Modell

Der große Vorteil des klassischen Black-76-Modells besteht in seiner Einfachheit bei der Berechnung und Implementierung. Der größte Kritikpunkt dieses Modells ist die Annahme, dass Zinsänderungen lognormalverteilt sind. Diese Annahme ist aufgrund von Mean-Reversion-Eigenschaften der Zinssätze sehr realitätsfern. Außerdem ist die Summe von lognormalverteilten Zufallsvariablen nicht zwangsläufig lognormalverteilt, was im Black-76-Modell unterstellt wird. Des Weiteren werden die Volatilitäten der Terminzinssätze als konstant angenommen.

In Folge dessen führt die Anwendung dieses Modells mit einer großen Wahrscheinlichkeit zu erheblichen Fehlbewertungen. Im Gegensatz dazu hat das HJM-Modell diese Schwächen nicht. Es geht nicht von der Lognormalverteilung aus und berücksichtigt die Mean-Reversion-Eigenschaft. Außerdem ist davon auszugehen, dass die einzelnen Zinssätze voneinander abhängig sind, d.h. die Veränderung eines Zinssatzes tendenziell mit der Verschiebung der gesamten Zinsstruktur einhergeht. Diese wichtige Tatsache wird in dem HJM Modell beachtet, indem die Dynamik der Zinssätze berücksichtigt wird.

Jedoch hat das HJM-Modell auch einige Nachteile. Zum Einen muss eine anfängliche Zinsstruktur der Forward Rates f(0,t,t+1) gegeben sein. In der Praxis sind aber diese nicht direkt zu beobachten. Daher besteht das Problem der Daten-Verfügbarkeit. Zum Anderen ist das Modell nur schwer implementierbar, da es sehr komplexe Strukturen aufweist. So entstehen bei der Modellierung der Zinsprozesse nicht-geschlossene Binomialbäume, die zu einer großen Anzahl von Knoten führen. Folglich müssen im Zeitpunkt t in einem Einfaktor-HJM-Modell, insgesamt 2*t Knoten erfasst werden. Beispielsweise führt die Bewertung einer Swaption mit einer Gesamtlaufzeit von 21 Jahren bei der Modellierung des Forward-Rate-Prozesses f(20,20,21) zu 2^21 = 2.097.152 Knoten, dies kann u. U. zu rechentechnischen Problemen führen.

Literatur

• John Hull: Optionen, Futures und andere Derivate. 6. Auflage. Pearson Studium, München 2006, ISBN 978-3827371423.
• Markus Rudolf: Zinsstrukturmodelle. Physica-Verlag, Heidelberg 2000.
• Markus Rudolf: Heath, Jarrow, Morton made easy: Zur präferenzfreien Bewertung von Swaptions. Finanzmarkt und Portfolio-Management 12(2):170–196. 1998.
• D. Heath, R. Jarrow, und A. Morton: Bond pricing and the term structure of interest rates: A new methodology for contingent claims valuation. 1989.
• Klaus Sandmann: Einführung in die Stochastik der Finanzmärkte. Springer, 1999.