Cauchy-Binet-Formel

Der Satz von Binet-Cauchy ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet Lineare Algebra. Der nach Jacques Philippe Marie Binet und Augustin-Louis Cauchy benannte Satz besteht aus einer Formel zur Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix C. Um ihn anzuwenden, muss eine Produktdarstellung $C = A \cdot B$ bekannt sein. Dabei ist A eine $n \times m$-Matrix und B eine $m \times n$-Matrix. Die Determinante wird durch Aufsummieren von Produkten aus je einem n-dimensionalen Minor von A und B berechnet.

$\det(A \cdot B) = \sum_{S \subseteq \{1,2,\ldots,m\} \atop |S| = n} \det(A_S) \det(B_S) = \sum_{S \subseteq \{1,2,\ldots,m\} \atop |S| = n} \det(A_S \cdot B_S)$

Die Untermatrizen A_S und B_S ergeben sich aus den Matrizen A und B wenn nur die Spalten aus A bzw. Zeilen aus B verwendet werden, deren Nummern in S vorkommen. Dabei muss die ursprüngliche Reihenfolge der Spalten bzw. Zeilen jedoch erhalten bleiben. Ist n > m, dann gibt es solche Untermatrizen nicht und es gilt $\det(A \cdot B) = 0$.

Der Satz von Binet-Cauchy verallgemeinert die Produktregel für Determinanten. Diese ergibt sich als Spezialfall, wenn sowohl A als auch B $n \times n$-Matrizen sind. Dann gibt es genau eine Teilmenge $S = \{1,2,\ldots,n\}$, und es gilt $\det(A \cdot B) = \det (A) \cdot \det (B)$.

Beispiel

In diesem Beispiel wird die Determinante der Matrix C mit Hilfe des Satzes von Binet-Cauchy berechnet. Für diese Matrix ist die folgende Produktdarstellung gegeben:

$C = \begin{pmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{pmatrix} = A \cdot B$.

Nach dem Satz von Binet-Cauchy gilt:

$\det(C) = \sum_{S \subseteq \{1,2,3\} \atop |S| = 2} \det(A_S) \det(B_S)$

$\qquad = \det(A_{\{1,2\}}) \cdot \det(B_{\{1,2\}}) + \det(A_{\{2,3\}}) \cdot \det(B_{\{2,3\}}) + \det(A_{\{1,3\}}) \cdot \det(B_{\{1,3\}})$

$\qquad = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 11 & 12 \end{pmatrix}$

$\qquad = (-3) \cdot (-2) + (-3) \cdot (-2) + (-6) \cdot (-4)$

$\qquad = 36$.

Literatur

• Felix R. Gantmacher: Matrizentheorie. Springer-Verlag, 1986, ISBN 3-540-16582-7, S. 28–29