Cauchy-Eigenschaft

Das Cauchykriterium für unendliche Reihen (nach Augustin Louis Cauchy) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also ein Mittel zur Entscheidung ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

Sei eine unendliche Reihe

$S = \sum_{n=0}^\infty a_n$

mit reellen oder komplexen Summanden a_n gegeben.

Wenn zu jedem $\varepsilon > 0$ ein Index N existiert, so dass für alle m und n mit m > n > N gilt:

$\left| \sum_{k=n}^m a_k \right| < \varepsilon$

dann konvergiert die Reihe in $\mathbb{R}$ (bzw. $\mathbb{C}$). Ist das Kriterium nicht erfüllt, divergiert sie.

Dieses Kriterium sagt zunächst nur aus, dass die Partialsummenfolge von S eine Cauchy-Folge ist. Aufgrund der Vollständigkeit von $\mathbb{R}$ und $\mathbb{C}$ folgt dann die Konvergenz der Reihe.