- Cauchy-Faltung
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Die Cauchy-Produktformel, auch Cauchy-Produkt oder Cauchy-Faltung, benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy gestattet die Multiplikation und Division unendlicher Reihen.
Sind und zwei absolut konvergente Reihen, so ist deren Produkt
- , mit
wiederum eine absolut konvergente Reihe.
Nach dem Satz von Mertens ist es schon ausreichend zu fordern, dass mindestens eine der konvergenten Reihen (an) und (bn) absolut konvergiert, damit das Cauchyprodukt (cn) konvergiert (nicht notwendigerweise absolut) und mit übereinstimmt.
Konvergieren die Reihen (an) und (bn) nur bedingt, so kann es sein, dass das Cauchyprodukt (cn) nicht konvergiert.
Beispiel
Es soll das Produkt der beiden Reihen
gebildet werden.
Es gilt
Die cn konvergieren für mit der Substitution betragsmäßig gegen das Integral
Nach Trivialkriterium divergiert daher (cn).
Wenn jedoch (an) und (bn) beide bedingt konvergieren und das Cauchyprodukt (cn) konvergiert, dann stimmt es nach einem Satz von Abel mit überein.
Schreibt man diese Formel aus, so erhält man:
Bricht man diese Reihe bei einem gewissen Wert von n ab, so erhält man eine Näherung für das gesuchte Produkt.
Werden insbesondere Potenzreihen multipliziert, d.h., sind und , so gilt für ihr Produkt , womit die Produktreihe nach Potenzen von x geordnet werden kann.
Um dagegen die Reihe aufzufinden, bildet man für unbekannte cn und ermittelt diese mit Hilfe eines Koeffizientenvergleichs.
Zahlenbeispiel
1/81 = 1/9 * 1/9 = 0,11111... * 0,11111... = 0,0 (1) * (1+1) * (1+1+1) * (1+1+1+1) * (1+1+1+1+1)...
0,11111... * 0,11111...0 011111... 011111... 011111... 011111...
0,012345... = 0,0123456789(10)(11)(12)(13)...
1/81 liefert als Ergebnis somit alle fortlaufenden Zahlen. Diese ungewöhnliche Darstellung ist im Dezimalsystem allerdings so nicht darstellbar, da es nur 10 Zahlen (0-9) umfasst. Die (10) vergrößert die vorstehende 9 zu einer 10, sodass die 8 zu einer 9 aufgerundet wird.
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