Lambert-Reihe

In der Mathematik ist eine Lambert-Reihe, benannt nach Johann Heinrich Lambert, eine Reihe der Form

$S(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \frac {q^n}{1-q^n}.$

Sie kann durch Erweiterung umsummiert werden zu:

$S(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \sum_{k=1}^\infty q^{nk} = \sum_{m=1}^\infty b_m q^m$

wobei sich die Koeffizienten der neuen Reihe durch Dirichlet-Faltung von a_n mit der konstanten Funktion 1(n) = 1 ergeben:

$b_m = (a*1)(m) = \sum_{n\mid m} a_n. \,$

Alternative Form

Setzt man q = e ^{− z}, so erhält man eine andere übliche Form der Reihe:

$\sum_{n=1}^\infty \frac {a_n}{e^{zn}-1}= \sum_{m=1}^\infty b_m e^{-mz}$

wobei

$b_m = (a*1)(m) = \sum_{n\mid m} a_n\,$

ist.

Beispiele der Lambert-Reihe in dieser Form, mit z = 2π, treten in Ausdrücken der Riemannschen Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen auf.