Lehmer-Mittel

In der Mathematik ist das Lehmer-Mittel ein nach Derrick Henry Lehmer benannter, verallgemeinerter Mittelwert.

Definition

Das Lehmer-Mittel n positiver reeller Zahlen $a_1, \ldots, a_n$ zur Stufe p ist wie folgt definiert:

$L_p(a_1,\ldots,a_n) = \frac{\sum_{k=1}^n a_k^p}{\sum_{k=1}^n a_k^{p-1}}.$

Es gibt auch eine Form des Lehmer-Mittels mit (positiven) Gewichten $w = (w_1, \ldots, w_n)$. Das gewichtete Lehmer-Mittel ist:

$L_{p,w}(a_1, \ldots, a_n) = \frac{\sum_{k=1}^n w_k a_k^p}{\sum_{k=1}^n w_k a_k^{p-1}}.$

Eigenschaften

Für das Lehmer-Mittel gilt

• $\lim_{p\to-\infty} L_p(a_1,\ldots,a_n) = \min(a_1,\ldots,a_n)$.
• $\!L_0(a_1,\ldots,a_n)$ ist das harmonische Mittel.
• $\!L_{1/2}(a_1,a_2)$ ist das geometrische Mittel von a₁ und a₂.
• $\!L_1(a_1,\ldots,a_n)$ ist das arithmetische Mittel.
• $\lim_{p\to\infty} L_p(a_1,\ldots,a_n)=\max(a_1,\ldots,a_n)$.

Literatur

• P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Kluwer Acad. Pub. 2003, ISBN 1-4020-1522-4 (umfassende Diskussion von Mittelwerten und der mit ihnen verbundenen Ungleichungen).