Lemma von Rasiowa-Sikorski

Das Rasiowa–Sikorski Lemma, benannt nach den polnischen Mathematikern Roman Sikorski und Helena Rasiowa, ist in der Mengenlehre grundlegend für die Entwicklung der Forcing-Methode. Es postuliert die Existenz von Filtern mit gewissen Eigenschaften.

Aussage

Sei $\langle P,\le_P\rangle$ eine Quasiordnung, und $\mathcal{D}$ eine höchstens abzählbare Menge von dichten Teilmengen von P. Dann gibt es für jedes $p_0\in P$ einen Filter $F\subseteq P$ mit den Eigenschaften:

• $p_0\in F$
• $D\cap F\neq\emptyset$, für alle $D\in\mathcal{D}$.

Filter mit der letzten Eigenschaften werden auch $\mathcal{D}$-generisch genannt.

Beweis

Sei $D_1,D_2,\dots$ eine Aufzählung der Mengen in $\mathcal{D}$ und definiere für $n\ge 0$ rekursiv:

p_{n + 1}: = "ein Element $p\in D_{n+1}$ mit $p\le p_{n}$".

Ein solches p_{n + 1} existiert aufgrund der Dichtheit von D_{n + 1}. Dann ist die Menge $F:=\{p\in P\mid\exists n\in\N:p_n\le p\}$ ein derartiger Filter.

Erweiterungen

Es kann gezeigt werden, dass die Aussage im Allgemeinen falsch wird, wenn $\mathcal{D}$ die Kardinalität $2^{\aleph_0}$ hat. Die Frage, ob das Lemma für Kardinalzahlen κ mit $\aleph_0<\kappa<2^{\aleph_0}$ gilt, führt zu Martins Axiom.

Literatur

• Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Keneth: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0.