Lemma von Yoneda

Das Lemma von Yoneda, nach Nobuo Yoneda, ist eine mathematische Aussage aus dem Teilgebiet der Kategorientheorie. Es beschreibt die Menge der natürlichen Transformationen zwischen einem Hom-Funktor und einem weiteren Funktor.
Das Yoneda-Lemma erlaubt es, Begriffe, die aus der Kategorie der Mengen geläufig sind, auf beliebige Kategorien zu übertragen.

Motivation

Es seien ${\mathcal C}$ eine Kategorie, Set die Kategorie der Mengen und $T:{\mathcal C}\rightarrow \mbox{Set}$ ein Funktor. Für jedes Objekt X der Kategorie ${\mathcal C}$ hat man den Hom-Funktor $H^X: {\mathcal C}\rightarrow \mbox{Set}$ der für Objekte $Y\in \mbox{Ob}({\mathcal C})$ und Morphismen $(f:Y\rightarrow Z) \in \mbox{Mor}({\mathcal C})$ wie folgt definiert ist:

• $H^X(Y) := \mbox{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$, wobei $\mbox{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ eine in diesem Zusammenhang übliche alternative Schreibweise für $\mbox{Mor}_{\mathcal C}(X,Y)$ ist.

• $H^X(f): H^X(Y)\rightarrow H^X(Z), \, g\mapsto f\circ g$.

Hat man zusätzliche Strukturen auf den Morphismenmengen, wie zum Beispiel im Falle abelscher Kategorien, so ersetzt man die Zielkategorie Set des Hom-Funktors gerne durch eine entsprechende Kategorie, etwa durch die Kategorie Ab der abelschen Gruppen. Um dann wieder auf die hier betrachtete Situation zu kommen, hat man lediglich den Vergissfunktor $\mbox{Ab}\rightarrow \mbox{Set}$ hinterzuschalten.

Man kann nun die Frage stellen, welche natürlichen Transformationen zwischen den Funktoren H^X und T von ${\mathcal C}$ nach Set bestehen. Hier gibt das folgende Yoneda-Lemma eine Antwort:

Aussage

Sind $T:{\mathcal C}\rightarrow \mbox{Set}$ ein Funktor und X ein Objekt aus ${\mathcal C}$, so ist $\eta \mapsto \eta_X(\mbox{id}_X)$ eine Bijektion von der Menge aller natürlichen Transformationen $\eta: H^X\rightarrow T$ in die Menge T(X).

Dazu beachte man, dass eine natürliche Transformation $\eta: H^X\rightarrow T$ definitionsgemäß jedem Objekt Y aus ${\mathcal C}$ einen Morphismus $\eta_Y:H^X(Y)\rightarrow T(Y)$ zuordnet, wobei gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind (siehe natürliche Transformation). Insbesondere hat man einen Morphismus $\eta_X:H^X(X)\rightarrow T(X)$ in der Kategorie Set (das heißt einfach eine Abbildung), also kann man tatsächlich η_X(id_X) wie in obigem Lemma bilden und erhält ein Element aus T(X). Daher ist die Abbildung ${\mathcal Y}: \eta \mapsto \eta_X(\mbox{id}_X)$ wohldefiniert; man nennt sie auch die Yoneda-Abbildung.

Der Beweis ist einfach und beleuchtet die Situation im Yoneda-Lemma; daher wird er hier wiedergegeben: Ist $\eta: H^X\rightarrow T$ eine natürliche Transformation, Y ein Objekt aus ${\mathcal C}$ und $f\in H^X(Y)$, das heißt f ist ein ${\mathcal C}$-Morphismus $X\rightarrow Y$, so ist das folgende Diagramm nach Definition der natürlichen Transformation kommutativ:

$\begin{array}{ccc} H^X(X)=\mbox{Hom}(X,X) & \stackrel{\eta_X}{\longrightarrow} & T(X)\\ \downarrow_{H^X(f)} & & \downarrow_{T(f)}\\ H^X(Y)=\mbox{Hom}(X,Y) & \stackrel{\eta_Y}{\longrightarrow} & T(Y) \end{array}$

Daraus ergibt sich $\eta_Y(f) = \eta_Y(f\circ \mbox{id}_X) = (\eta_Y\circ H^X(f))(\mbox{id}_X) = (T(f)\circ \eta_X)(\mbox{id}_X) = T(f)(\eta_X(\mbox{id}_X))$.

Daher ist η_Y durch T und η_X(id_X) bereits eindeutig festgelegt, woraus sich die Injektivität der Yoneda-Abbildung ergibt. Diese Formel wird auch zur Surjektivität herangezogen. Ist nämlich $w \in T(X)$, so definiere man für jedes Objekt Y aus ${\mathcal C}$ die Abbildung $\eta_Y:H^X(Y)\rightarrow T(Y)$ durch $\eta_Y(f)\,:=\,T(f)(w)$. Dann kann man nachrechnen, dass dadurch eine natürliche Transformation η von H^X nach T definiert wird, die unter der Yonada-Abbildung auf w abgebildet wird. Abbildungen der oben vorgestellten Art $\eta_Y:H^X(Y)\rightarrow T(Y), \eta_Y(f)\,:=\,T(f)(w)$ führen zum Begriff der Darstellbarkeit von Funktoren.

Yoneda-Einbettung

Als eine einfache Anwendung des Yoneda-Lemmas wird hier die Yoneda-Einbettung behandelt. Die Yoneda-Einbettung wird in der Definition der Ind-Objekte und Pro-Objekte verwendet.

Ist ${\mathcal C}$ eine Kategorie, so bezeichne $[{\mathcal C},\mbox{Set}]$ die Kategorie der Funktoren H^X mit den natürlichen Transformationen als Morphismen. Man beachte dazu, dass die natürlichen Transformationen zwischen zwei Funktoren H^X und H^Y nach dem Yoneda-Lemma eine Menge bilden, es liegt also tatsächlich eine Kategorie vor. Weiter sei mit ${\mathcal C}^{op}$ die duale Kategorie bezeichnet. In dieser Situation definiere man den Funktor $H^*:{\mathcal C}^{op}\rightarrow [{\mathcal C},\mbox{Set}]$ durch folgende Daten:

• H ^* (X): = H^X, die Funktoren H^X sind die Objekte in $[{\mathcal C},\mbox{Set}]$.
• Für einen Morphismus $f:X\rightarrow Y$ sei $H^*(f):H^X \rightarrow H^Y$ definiert durch $H^*(f)_Z: H^X(Z)\rightarrow H^Y(Z),\, g\mapsto g\circ f$, wobei $Z\in \mbox{Ob}({\mathcal C})$. Dann ist H ^* (f) eine natürliche Transformation, also ein Morphismus in $[{\mathcal C},\mbox{Set}]$.

Leicht prüft man nach, dass hierdurch tatsächlich ein Funktor $H^*:{\mathcal C}^{op}\rightarrow [{\mathcal C},\mbox{Set}]$ definiert ist. Dabei ist auf der linken Seite die duale Kategorie gewählt, da sonst f „in die falsche Richtung“ laufen würde. Es gilt nun

• Yoneda-Einbettung: Der Funktor $H^*:{\mathcal C}^{op}\rightarrow [{\mathcal C},\mbox{Set}]$ ist eine volltreue Einbettung.

Vertauscht man die Rollen von ${\mathcal C}$ und ${\mathcal C}^{op}$, so erhält man eine volltreue Einbettung ${\mathcal C} \rightarrow [{\mathcal C}^{op},\mbox{Set}]$.

Der Beweis besteht in einer Anwendung des Yoneda-Lemmas. Zur Volltreue muss gezeigt werden, dass die Abbildungen

$H^*_{X,Y}: \mbox{Mor}_{{\mathcal C}^{op}}(X,Y) \rightarrow \mbox{Mor}_{[{\mathcal C},\mbox{Set}]}(H^*X, H^*Y),\, f\mapsto H^*(f)$

bijektiv sind. Für $\eta \in \mbox{Mor}_{[{\mathcal C},\mbox{Set}]}(H^*X,H^*Y)$, das heißt für eine natürliche Transformation $\eta: H^X\rightarrow H^Y$, ist ${\mathcal Y}(\eta) \in H^Y(X) = \mbox{Hom}_{\mathcal C}(Y,X) = \mbox{Hom}_{{\mathcal C}^{op}}(X,Y)$, das heißt die Yoneda-Abbildung definiert eine Abbildung

${\mathcal Y}_{X,Y}: \mbox{Mor}_{[{\mathcal C},\mbox{Set}]}(H^*X,H^*Y) \rightarrow \mbox{Mor}_{{\mathcal C}^{op}}(X,Y), \eta \mapsto \eta_X(\mbox{id}_X)$.

Da diese Abbildung nach dem Yoneda-Lemma bijektiv ist, und weil für alle $f\in \mbox{Mor}_{{\mathcal C}^{op}}(X,Y)$ folgendes gilt: ${\mathcal Y}_{X,Y}H^*_{X,Y}(f) = {\mathcal Y}_{X,Y}(H^*(f)) = H^*(f)_X(\mbox{id}_X) = \mbox{id}_X \circ f = f$,

ist $H^*_{X,Y}={\mathcal Y}_{X,Y}^{-1}$ und daher ebenfalls bijektiv. Deshalb ist H ^* volltreu.

Um einzusehen, dass H ^* sogar eine Einbettung ist, muss die Injektivität des Funktors auf der Klasse der Objekte gezeigt werden (siehe Artikel treuer Funktor). Sind X und Y zwei verschiedene Objekte aus $\mbox{Ob}({\mathcal C}^{op})$, so gilt $\mbox{Hom}_{\mathcal C}(X,X) \cap \mbox{Hom}_{\mathcal C}(Y,X) = \emptyset$, weil ein Morphismus nicht zwei verschiedene Definitionsbereiche haben kann, und daraus folgt $H^X\not=H^Y$, das heißt $H^*(X)\not=H^*(Y)$. Daher ist H ^* auch eine Einbettung.

Literatur

• Schubert, Horst: Kategorien I/II, Springer, 1970.