Martins Axiom

Martins Axiom ist in der Mengenlehre eine Aussage, die in dem üblichen Zermelo-Fraenkelschen System weder beweis- noch widerlegbar ist. Es wurde 1970 von Donald A. Martin und Robert M. Solovay eingeführt.

Motivation

Sei $\langle P,\le_P\rangle$ eine Quasiordnung und $\mathcal{D}$ eine Menge von dichten Teilmengen von P. Gesucht ist ein Filter F auf P, der alle Elemente aus $\mathcal{D}$ trifft, d.h. nichtleer schneidet (F heißt dann $\mathcal{D}$-generischer Filter). Das Lemma von Rasiowa-Sikorski besagt, dass es für abzählbares $\mathcal{D}$ immer möglich ist, ein solches F zu finden. Für überabzählbares $\mathcal{D}$ ist die Situation anders: Wenn

• $\left|\mathcal{D}\right|=2^{\aleph_0}$, oder
• $\langle P,\le_P\rangle$ überabzählbare Antiketten besitzt,

gibt es im Allgemeinen keine $\mathcal{D}$-generischen Filter.

Formulierung

Martins Axiom (MA) ist die Aussage

„Für jede Quasiordnung $\langle P,\le_P\rangle$, die nur abzählbare Antiketten besitzt, und jede Menge $\mathcal{D}$ dichter Teilmengen mit $\left|\mathcal{D}\right|<2^{\aleph_0}$ gibt es einen $\mathcal{D}$-generischen Filter F.“

Gilt die Kontinuumshypothese, so ist jedes $\mathcal{D}$ mit $\left|\mathcal{D}\right|<2^{\aleph_0}$ notwendig abzählbar, also gilt trivialerweise MA. Es lassen sich aber auch Modelle von MA konstruieren, in denen die Kontinuumshypothese nicht gilt.

Literatur

• Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Keneth: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0.
• Martin, D. A.; Solovay, R. M. : Internal Cohen extensions, Ann. Math. Logic 2 (2) (1970): 143–178