Liénard-Wiechert-Potential

Die Liénard-Wiechert-Potentiale (ein skalares und ein vektorielles Potential) beschreiben die elektrischen und magnetischen Felder, die von einer bewegten elektrischen Punktladung erzeugt werden. Sie verallgemeinern das Coulomb-Potential, das von einer ruhenden Punktladung erzeugt wird und das keinen magnetischen Anteil hat. Grundlage sind die Maxwell-Gleichungen der klassischen Elektrodynamik. Die Potentiale sind benannt nach den Physikern Alfred-Marie Liénard und Emil Wiechert.

Das skalare Liénard-Wiechert-Potential ist ein modifiziertes Coulomb-Potential. Das Vektorpotential, das die Information über das Magnetfeld enthält, ist im Wesentlichen das skalare Potential multipliziert mit der Teilchengeschwindigkeit.

Gegenüber dem Coulomb-Potential bestehen folgende Unterschiede:

• Die Felder, die man zum Zeitpunkt t beobachtet, werden von dem Teilchen zu einem zurückliegenden (retardierten) Zeitpunkt t_ret erzeugt. Die Differenz t − t_ret ist gleich der Laufzeit vom Teilchen zum Beobachter mit Lichtgeschwindigkeit.
• Es gibt einen Verstärkungsfaktor, wenn sich das Teilchen auf den Beobachter zubewegt (Abschwächungsfaktor, wenn es sich wegbewegt). Der Verstärkungsfaktor geht gegen unendlich, wenn die Teilchengeschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit geht.

Aus den Potentialen können die elektrische und magnetische Feldstärke durch Ableitungen nach Raum- und Zeitkoordinaten gewonnen werden (siehe Abschnitt "Potentiale und Wellengleichung" im Hauptartikel Elektrodynamik). Die Feldstärken zerfallen in einen Geschwindigkeits- und einen Beschleunigungsanteil. Der Anteil, der nur die Teilchengeschwindigkeit enthält, ist in der Nähe des Teilchens stark, in großem Abstand dagegen schwach (kein Fernfeld). Der zur Beschleunigung proportionale Anteil führt zur Abstrahlung von Energie ins Unendliche ^[1].

Die Formeln

Der Ort des Teilchens wird als vorgegebene Funktion $\vec{R}(t)$ betrachtet. Wie die Bahnkurve zustande kommt (etwa durch elektromagnetische Felder, die Kräfte auf das Teilchen ausüben) wird nicht in Betracht gezogen. Im Internationalen Einheitensystem lauten die Liénard-Wiechert-Potentiale (nach ^[1], jedoch für Felder im materiefreien Raum formuliert)

$\Phi(\vec{r},t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0|\vec{r}-\vec{R}_\mathrm{ret}|} \left[\frac1{1-{\textstyle\frac1c}\dot{\vec{R}}\cdot\vec{n}}\right]_\mathrm{ret} \qquad \qquad \vec{A}(\vec{r},t) = \frac{\Phi(\vec{r},t) \dot{\vec{R}}_\mathrm{ret}}{c^2}$

Der Punkt über einem Vektorsymbol bedeutet Ableitung nach der Zeit. Der Index „ret“ bedeutet, dass Teilchenposition und -geschwindigkeit zum retardierten Zeitpunkt zu nehmen sind. Der Vektor $\vec{n}$ ist der Einheitsvektor, der vom Sende- zum Empfangspunkt zeigt. Für den retardierten Zeitpunkt gilt die implizite Gleichung

$t_\mathrm{ret} = t - \frac1c|\vec{r}-\vec{R}(t_\mathrm{ret})|$

Abgesehen vom Spezialfall gleichförmiger Bewegung ist die Auflösung nach t_ret nur näherungsweise möglich.

Anwendungen

Synchrotronstrahlung

Hierbei bewegt sich das Teilchen auf einer Kreisbahn mit einer Geschwindigkeit v nahe der Lichtgeschwindigkeit c. Der geschwindigkeitsabhängige Faktor nimmt dann bei jedem Umlauf einen hohen Spitzenwert an. Denn wenn die tangentiale Richtung der Geschwindigkeit mit der Richtung zum Beobachter übereinstimmt, d.h. wenn $\dot{\vec{R}}$ parallel zu $\vec{n}$ ist, dann gilt mit $v\approx c$

$\frac1{1-{\textstyle\frac1c}\dot{\vec{R}}\cdot\vec{n}} = \frac{1}{1-\frac{v}{c}} \approx \frac1{1-\frac{v}{c}}\,\frac2{1+\frac{v}{c}} = \frac2{1-\frac{v^2}{c^2}} = 2 \gamma^2$

wobei γ den Lorentzfaktor bezeichnet. Die Potentiale und Feldstärken sind damit proportional zu γ². Weil die Feldstärken quadratisch in die Strahlungsenergie eingehen (siehe Poynting-Vektor) wird die Energie der Synchrotronstrahlung proportional zu γ⁴.

Beschleunigtes Teilchen mit niedriger Geschwindigkeit in großer Entfernung

Niedrige Geschwindigkeit hat man zum Beispiel am Beginn eines Beschleunigungsvorganges. Große Entfernungen sind der Bereich, der für elektromagnetische Strahlung relevant ist. Mit dieser Spezialisierung vereinfachen sich die Ausdrücke für die elektrische und magnetische Feldstärke (siehe ^[1] im Limes β = 0). Für das Magnetfeld gilt

$\vec{B} = \frac{\mu_0 q}{4\pi c |\vec{r}-\vec{R}_\mathrm{ret}|} \left( \ddot{\vec{R}} \times \vec{n}\right)_\mathrm{ret}$

Die elektrische Feldstärke folgt daraus mit einer allgemeinen Relation für Felder in der Fernzone ^[2]

$\vec{E} = c \vec{B} \times \vec{n}$

Damit ist die ins Unendliche gehende Energiestromdichte (Poynting-Vektor) im Abstand r betragsmäßig gleich

$S = \frac1{\mu_0} |\vec{E}\times\vec{B}| = \frac{\mu_0 q^2}{16\pi^2 c r^2} \, \left| \ddot{\vec{R}}\right|^2\, \sin^2\!\vartheta$

wobei $\vartheta\!\,$ der Winkel zwischen dem Beschleunigungsvektor und der Beobachtungsrichtung ist. Den Energiestrom pro Raumwinkel erhält man durch Weglassen des r² im Nenner.

Herleitung des B-Feldes: Die Teilchengeschwindigkeit soll klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit sein, so dass alle Terme vernachlässigt werden können, die im Ergebnis einen Faktor $\dot{R}/c$ enthalten. Wenn Ableitungen nach x,y,z,t auf die retardierte Zeit wirken, braucht deswegen der Teilchenort nicht mitdifferenziert zu werden. Damit gilt näherungsweise

$\frac{\partial}{\partial t} t_\mathrm{ret} = 1 \qquad \qquad \operatorname{grad}\,t_\mathrm{ret} = -\frac1c \operatorname{grad}\,|\vec{r}-\vec{R}_\mathrm{ret}| = - \frac{\vec{n}}{c}$

Bei Ableitungen des Vektorpotentials darf der Faktor $\dot{R}/c$ nicht stehenbleiben; also muss überhaupt nur dieser Faktor differenziert werden. Für das Magnetfeld erhält man so

$\vec{B} = \operatorname{rot}\,\vec{A} = \frac{\Phi}{c^2} \, \operatorname{rot}\,\dot{\vec{R}}(t_\mathrm{ret}) = \frac{\Phi}{c^2} \, \operatorname{grad}\,t_\mathrm{ret} \times \ddot{\vec{R}} = - \frac{\mu_0 q}{4\pi c |\vec{r}-\vec{R}_\mathrm{ret}|}\, \vec{n} \times \ddot{\vec{R}}$

wobei eine Kettenregel für die Rotation benutzt wurde. Außerdem wurde $c^2 = 1/\epsilon_0 \mu_0$ benutzt.

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b c} W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik, Band 3 Elektrodynamik, 8. Auflage, Springer 2007, Abschnitt 4.5.5
2. ↑ J. D. Jackson, Klassische Elektrodynamik, 4. Auflage, de Gruyter 2006, Abschnitt 9.8. Dort wird gezeigt, dass die Relation für alle Multipolordnungen gilt. Vorsicht: Der Ausdruck für Z₀ auf Seite 472 enthält zwei Druckfehler; richtig ist $Z_0=\sqrt{\mu_0/\epsilon_0}$ für das Vakuum, siehe Abschnitt „Feldwellenwiderstand“ im Hauptartikel Wellenimpedanz