Monotoner Dichtequotient

Der Begriff Monotoner Dichtequotient entstammt dem Gebiet der statistischen Testtheorie. Er dient dazu, das Neyman-Pearson-Lemma auch für zusammengesetzte Hypothesen nutzbar zu machen. Zu diesem Zweck klassifiziert man mit dem Begriff Verteilungsfamilien, die eine gewisse Regelmäßigkeit aufweisen.

Formale Definition

Sei also X eine Zufallsvariable mit Werten in $\mathcal X$ und unbekannter Verteilung $P_{\theta}^X$. Die Verteilung gehöre dabei zu einer Familie $(P_{\vartheta}^X)_{\vartheta\in\Theta}$ ($\Theta \subset \mathbb R$), welche stetige Dichten $(f_{\vartheta})_{\vartheta\in\Theta}$ besitzen möge. Sei weiter T eine Teststatistik mit Werten in $\mathbb R$.

Man sagt die Familie $(P_{\vartheta}^X)_{\vartheta\in\Theta}$ habe einen monontonen Dichtequotinenten in T genau dann, wenn es für alle $\vartheta'$, $\vartheta$ ($\vartheta' > \vartheta$) eine (in T) monoton wachsende Funktion $g_{(\vartheta',\vartheta)}: \mathbb R \longrightarrow [0,\infty]$ gibt mit der Eigenschaft, dass für alle $x \in \mathcal X$ mit $f_{\vartheta'}(x) \neq 0 \neq f_{\vartheta}(x)$ gilt

$\frac{f_{\vartheta'}(x)}{f_{\vartheta}(x)} = g_{(\vartheta',\vartheta)}(T(x))$.

Anwendung

Man kann beweisen: in einseitigen Testproblemen, in denen die Verteilungen einen monotonen Dichtequotienten aufweisen, existiert ein bester Test zum Niveau α.

Literatur

Irle, Albrecht: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, Wiesbaden ²2005, 383.