NTRUEncrypt

NTRUEncrypt ist ein asymmetrisches Verschlüsselungsverfahren, das 1996 von den Mathematikern J. Hoffstein, J.Pipher und J.H. Silverman entwickelt wurde. Es basiert lose auf Gitterproblemen, die selbst mit Quantenrechnern als nicht knackbar gelten. Allerdings ist NTRUEncrypt bisher nicht so gut untersucht wie gebräuchlichere Verfahren (z.B. RSA).

Der Algorithmus ist in den USA patentiert; die Patente laufen im Jahr 2021 aus^[1]. NTRUEncrypt ist durch IEEE P1363.1 standardisiert. Eingesetzt wird es z.B. von den US-Firmen WiKID ^[2], Echosat ^[3] und yaSSL^[4].

Beschreibung des Verfahrens

Es wird im folgenden lediglich der Kernalgorithmus beschrieben. Dieser ist für sich alleine genommen anfällig gegenüber bestimmten Angriffen; siehe den Abschnitt „Vor- und Nachbearbeitung“.

Alle Berechnungen finden, soweit nicht anders vermerkt, im Ring $R = \Z_q[X]/(X^N-1)$ statt, d.h. der Grad des Polynoms übersteigt nie N. Die Multiplikation „*“ ist eine zyklische Faltung modulo q: Das Produkt zweier Polynome $f = [f_0, f_1, \ldots, f_{N-1}]$ und $g = [g_0, g_1, \ldots, g_{N-1}]$ ist $f*g = \sum_{i+j \equiv k \mod N}f_i \cdot g_j \mod q$.

Schlüsselerzeugung

1. Wahl der Parameter N,p,q mit q > p,ggT(p,q) = 1.
2. Wahl eines zufälligen Polynoms f, dessen Koeffizienten in {-1, 0, 1} liegen. Die Inversen f_p (das Inverse modulo p) und f_q (das Inverse modulo q) müssen existieren.
3. Erzeugung eines Zufallspolynoms g, dessen Koeffizienten in {-1, 0, 1} liegen.
4. $h \equiv f_q * g \mod q$ ist der öffentliche Schlüssel, f der geheime Schlüssel. (Zur schnelleren Entschlüsselung kann auch f_p mit in den geheimen Schlüssel aufgenommen werden.)

Verschlüsselung

1. Umwandlung des Klartexts in ein Polynom m.
2. Wahl eines zufälligen Polynoms r mit kleinen Koeffizienten.
3. Das Polynom $e \equiv pr*h+m \mod q$ ist der Geheimtext.

Entschlüsselung

1. Berechnung von $a \equiv f*e \mod q$ mit Wahl der Repräsentanten der Koeffizienten von a im Intervall [ − q / 2,q / 2).
2. Berechnung von $c \equiv f_p*a \mod p$.
3. Durch Umwandlung des Polynoms c in die Textdarstellung ergibt sich der Klartext.

Korrektheit

Für das Polynom a gilt: $a \equiv f*e \equiv f*pr*h + f*m \mod q = f*pr*f_q*g + f*m \mod q = pr*g + f*m \mod q$. Weil die Koeffizienten alle klein sind, gibt diese Gleichung auch im Ring R. Deshalb wird im zweiten Schritt $c = f_p*pr*g + f_p*f*m \mod p = m \mod p$ korrekt berechnet.

Effizienz

Um die Multiplikation zu beschleunigen, können die Polynome f und g so gewählt werden, dass viele Koeffizienten Null sind. Dazu werden Parameter d_f,d_g gewählt und bei der Wahl von f werden d_f Koeffizienten gleich 1, d_f − 1 Koeffizienten gleich -1 und der Rest gleich 0 gesetzt. Bei der Wahl von g werden d_g Koeffizienten gleich 1, d_g − 1 Koeffizienten gleich -1 und der Rest gleich 0 gesetzt (Bem.: Die Anzahl Einsen muss ungleich der Anzahl Minus-Einsen sein, weil das Polynom sonst nicht invertierbar ist).

Die Entschlüsselung lässt sich effizienter bewerkstelligen, wenn man das Polynom f nach der Formel $f=1+p \cdot f_{1}$ mit $f_1 \in \Z_p[X]$ bildet. Da dann $f_{p}^{-1}=1$ gilt, entfällt die Berechnung der Inversen modulo p. Es ist jedoch darauf bei der Parameterwahl zu achten, dass das gewünschte Maß an Sicherheit erhalten bleibt, da ein Angreifer nun die Menge der f₁ durchsuchen kann.^[5]

Weiterhin besteht zur Beschleunigung der Multiplikation die Möglichkeit, das Polynom f nach der Formel f(x) = 1 + p(f₁(x) * f₂(x) + f₃(x) zu bilden, wobei f₁, f₂ und f₃ sehr dünn besetzt sein können^[5]. An die Stelle des Parameters d_f treten dann die drei Parameter d_f1, d_f2 und d_f3. Die Effizienzsteigerung ergibt sich dadurch, dass d_f1 + d_f2 + d_f3 < d_f gilt (f₁ * f₂ + f₃ aber dennoch genügend Koeffizienten ungleich null hat) und deshalb mit f₁ * f₂ + f₃ schneller als mit f multipliziert werden kann.

Schließlich kann p statt einer Primzahl auch als Polynom gewählt werden, wobei p(x) = x + 2 die günstigste Wahl ist^[5]. Diese Variante taucht aber nur in der älteren Literatur auf.

Sicherheit

Es gibt für NTRUEncrypt keinen formalen Sicherheitsbeweis wie für andere kryptographische Verfahren, dennoch wird das Verfahren für hinreichend große Parameter für sicher gehalten. Anfang 2011 erschien eine Arbeit der Kryptologen Damien Stehlé und Ron Steinfeld, in der ein Sicherheitsbeweis für eine abgewandelte Form von NTRUEncrypt geführt wird.^[6]

Es sind verschiedene Angriffe auf NTRUEncrypt möglich. Der simpelste davon ist das Durchprobieren aller Polynome f, die für die Parameter N und d_f in Frage kommen. Ein effektiverer Angriff ist der Hälftenangriff (engl. Meet-in-the-middle-Attack), bei dem statt eines Polynoms der vollen Länge N zwei Polynome mit nur N / 2 Koeffizienten gleichzeitig durchprobiert werden. Dadurch benötigt dieser Angriff nur die Quadratwurzel der Anzahl der Schritte, die beim primitiven Durchprobieren ausgeführt werden. Noch effektiver ist eine Gitterreduktion, z.B. mittels des LLL-Algorithmus'.

Vor- und Nachbearbeitung

Der NTRUEncrypt-Kernalgorithmus bietet keine Sicherheit gegenüber Angreifern, die die Daten nach der Verschlüsselung manipulieren. Behoben wird dies durch das Beifügen von Kontrolldaten bei der Verschlüsselung, anhand derer der Empfänger manipulierte Chiffretexte erkennen kann.

Es sind drei solcher Verfahren bekannt. SVES-1 und SVES-2 sind älter und gegen Angriffe, die Entschlüsselungsfehler ausnutzen, anfällig^[7]. SVES-3 behebt diese Schwächen und ist im P1363.1-Standard unter der Bezeichnung SVES beschrieben.

Parameter mit 256 Bit Sicherheitsniveau

Ursprünglich wurden für die Länge von N Werte zwischen 167 und 503 empfohlen, nach dem Bekanntwerden diverser Angriffe wurden die Empfehlungen aber entsprechend angepasst. Die folgenden Parameter werden allen derzeit bekannten (Stand 9/2011) Angriffen gerecht:

	Bezeichnung	N	p	q	df	dg
Geringste Schlüssellänge	EES1087EP2	1087	3	2048	120	362
Mittlere Schlüssellänge, mittlere Dauer	EES1171EP1	1171	3	2048	106	390
Geringste Ver- und Entschl.dauer	EES1499EP1	1499	3	2048	79	499

Einzelnachweise

1. ↑ US-Patent 7.031.468, läuft nach der 20jährigen Spanne am 24. August 2021 ab
2. ↑ WiKID-Authentifizierungsgeräte
3. ↑ Artikel über NTRU in Networkworld vom 20. April 2011
4. ↑ Die kommerzielle TLS-Implementierung CyaSSL
5. ↑ ^{a b c} Hoffstein u. Silverman: Optimizations for NTRU
6. ↑ Damien Stehlé and Ron Steinfeld: Making NTRU as Secure as Worst-Case Problems over Ideal Lattices. (http://perso.ens-lyon.fr/damien.stehle/downloads/ntruenc.pdf).
7. ↑ The impact of decryption failures on the security of NTRU encryption

Weblinks

• Jeffrey Hoffstein, Jill Pipher, Joseph H. Silverman. NTRU: A Ring Based Public Key Cryptosystem. In Algorithmic Number Theory (ANTS III), Portland, OR, Juni 1998, J.P. Buhler (Hrsg.), Lecture Notes in Computer Science 1423, Springer-Verlag Berlin, 1998, 267-288.
• Beschreibung des Algorithmus und empfohlene Parameter (Registrierung erforderlich)
• Beschreibung des Algorithmus (ohne Registrierung zugänglich)
• NTRUEncrypt als Java-Quelltext
• Eine NTRUEncrypt-Implementation der TU Darmstadt ist per SVN mit dem Befehl svn co --username guest --password guest https://svn.cdc.informatik.tu-darmstadt.de/svn/repos/flexiprovider erhältlich (Der NTRU-Code befindet sich im Verzeichnis flexiprovider/trunk/FlexiProvider/src/de/flexiprovider/pqc/ntru/).