LLL-Algorithmus

Der LLL-Algorithmus ist ein nach Arjen Lenstra, Hendrik Lenstra und László Lovász benannter Algorithmus, der für ein Gitter eine Basis aus möglichst kurzen Vektoren berechnet. Diese Vektoren sind Approximationen für die kürzesten voneinander linear unabhängigen Vektoren des Gitters. Bei seiner Entdeckung war der LLL-Algorithmus der erste effiziente Gitterreduktionsalgorithmus.

Kurze Gittervektoren

Eine Gitterbasis lässt sich als Matrix $B = [b_1, \dots, b_n] \in \mathbb R^m$ angeben. Der kürzeste Gittervektor minimiert die Norm des Vektors $\textstyle \sum_{i=1}^n t_i b_i$, wobei $t_1, \dots, t_n \in \mathbb Z$ nicht alle gleich 0 sind. Der LLL-Algorithmus führt diese Minimierung bezüglich der euklidischen Norm durch.

LLL-Basen

Definition

Üblicherweise werden LLL-Basen über ihre QR-Zerlegung B = QR definiert. Eine LLL-Basis B = QR zum Reduktionsfaktor $\delta \in [0.25, 1]$ wird über folgende zwei Eigenschaften definiert:

1. $2|r_{i, j}| \le r_{j, j}, 1 \le j < i \le n$ (Längenreduktion),
2. $\delta r_{i, i}^2 \le r_{i+1, i}^2 + r_{i+1, i+1}^2, 1 \le i < n$ (LLL-Eigenschaft)

Dabei sind r_i,j die Einträge der Matrix R. Es wird angenommen, dass die QR-Zerlegung von B so durchgeführt wird, dass die Diagonale von R keine negativen Elemente enthält.

Der Reduktionsfaktor δ gibt die Stärke der Reduktion an: Je näher er an 1 liegt, desto kürzer sind die Vektoren der reduzierten Basis. Für δ = 1 ist nicht bekannt, ob es einen effizienten Algorithmus gibt.

Eigenschaften

LLL-reduzierte Basen approximieren die kürzesten Vektoren mit einem Approximationsfaktor, der exponentiell in der Anzahl der Vektoren ist. Im Folgenden sei $\alpha := \tfrac1{\delta-\frac14}$. Offensichtlich ist $\alpha \ge \tfrac43$. Der i-te LLL-reduzierte Vektor b_i approximiert das i-te sukzessive Minimum auf folgende Weise: $\tfrac{||b_i||^2}{\lambda_i^2} \le \alpha^{n-1}$, wobei das i-te sukzessive Minimum die Länge des i-t kürzesten Vektors ist, der von keiner Menge kürzerer Vektoren linear abhängig ist.

Algorithmus

1. Berechne die erste Spalte von R.
2. Setze k: = 2 (k ist die Spalte, die gerade bearbeitet werden soll; die ersten k − 1 Spalten sind immer LLL-reduziert)
3. Solange $k \le n$ wiederhole: Berechne die k-te Spalte von R, längenreduziere sie (Algorithmus siehe unten). Prüfe, ob die LLL-Eigenschaft für die Spalten k − 1 und k erfüllt ist.
4. Falls ja: Setze k: = k + 1
5. Falls nein: Vertausche Spalten k − 1 und k, setze k: = max(k − 1,2).

Der Algorithmus folgt unmittelbar aus der Definition: Erzwinge Spalte für Spalte, dass B eine LLL-Basis ist. Längenreduktion lässt sich leicht herbeiführen. Lediglich die LLL-Eigenschaft ist kompliziert, weil sie indirekt weit voneinander entfernte Spalten in Beziehung bringt. Darum ist es nötig, Spalten zu vertauschen und wieder einen Schritt zurückzugehen.

Längenreduktion

Die Matrix R ist eine obere Dreiecksmatrix mit positiver Diagonale. Ziel der Längenreduktion ist es, alle Nicht-Diagonalelemente möglichst (betragsmäßig) klein zu machen, ohne das Gitter zu verändern. Jede Zeile von R hat folgenden Aufbau: null oder mehr Nullen, das Diagonalelement, null oder mehr weitere Elemente. Dabei besitzen die Nullen schon den kleinstmöglichen Betrag. Die LLL-Eigenschaft sorgt dafür, dass das Diagonalelement nicht allzu groß sein kann. Die Längenreduktion bewirkt nun für alle folgenden Elemente, dass sie betragsmäßig höchsten halb so groß wie das Diagonalelement sind. Das lässt sich dadurch herbeiführen, dass für jedes zu große Nicht-Diagonalelement die Spalte, die das entsprechende Diagonalelement enthält, so oft addiert oder subtrahiert wird, bis das zu große Element betragsmäßig minimal ist. Der folgende Algorithmus längenreduziert die k-te Spalte von R:

1. Für $i = k-1, \dots, 1$ wiederhole:
2. $R_i := R_i - [\frac{r_{i,k}}{r_{k,k}}]$

Dabei ist R_i der i-te Spaltenvektor von R und $[\cdot]$ die Rundungsfunktion, die auf die nächste ganze Zahl rundet. Es ist wichtig, dass Schritt 2. mit fallendem und nicht mit steigendem i ausgeführt wird.

Literatur

• A. K. Lenstra, H. W. Lenstra, Jr., L. Lovász: Factoring polynomials with rational coefficients. In: Mathematische Annalen. 261, Nr. 4, 1982, S. 515–534, doi:10.1007/BF01457454.
• Phong Q. Nguyen, Brigitte Valée (Hrsg.): The LLL algorithm. Survey and applications, Springer 2010, ISBN 978-3-642-02294-4.

Weblinks

• Gitter und Kryptographie. Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main, 5. Juni 2009 (Skript für die Vorlesungen von Prof. C. P. Schnorr, Sommersemester 2009).