Überdeckung (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Überdeckung ein grundlegendes Konzept aus der Topologie. Offene Überdeckungen spielen insbesondere bei der Kompaktheit von topologischen Räumen eine wichtige Rolle.

Definitionen

Überdeckung

Eine Familie $(A_i)_{i \in I}$ von Teilmengen von A heißt Überdeckung von $B \subset A$, wenn

$B \subset \bigcup_{i \in I} A_i$

gilt. Die Überdeckung $(A_i)_{i \in I}$ heißt endlich (oder abzählbar), wenn die Indexmenge I endlich (bzw. abzählbar) ist.

Teilüberdeckung

Sind $(A_i)_{i \in I}$ und $(C_j)_{j \in J}$ Überdeckungen von B, so heißt $(C_j)_{j \in J}$ Teilüberdeckung von $(A_i)_{i \in I}$, falls es zu jedem $j \in J$ ein $i \in I$ existiert mit C_j = A_i.

Verfeinerung

Sind $(A_i)_{i \in I}$ und $(D_k)_{k \in K}$ wieder zwei Überdeckungen von $B \subset A$, so heißt $(D_k)_{k \in K}$ feiner als $(A_i)_{i \in I}$, wenn es zu jedem $k \in K$ einen Index $i \in I$ gibt, so dass $D_k \subset A_i$ gilt. Das Mengensystem $(D_k)_{k \in K}$ wird dann Verfeinung oder Verfeinerungsüberdeckung von $(A_k)_{i \in I}$ genannt.

Überdeckungen in topologischen Räumen

Offene Überdeckung

Eine Überdeckung $(A_i)_{i \in I}$ eines topologischen Raumes X heißt offen (bzw. abgeschlossen), wenn alle A_i in X offen (bzw. abgeschlossen) sind.

Kompaktheit

→ Hauptartikel: Kompakter Raum

Ein topologischer Raum X heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung enthält.

Überdeckungseigenschaften

• Eine Überdeckung heißt punktendlich, wenn jeder Punkt des Raumes in höchstens endlich vielen Überdeckungsmengen liegt.
• Eine Überdeckung heißt lokalendlich, wenn jeder Punkt des Raumes eine Umgebung hat, die höchstens endlich viele Überdeckungsmengen schneidet. Bekanntlich heißt ein topologischer Raum parakompakt, wenn jede offene Überdeckung eine lokalendliche Überdeckung besitzt.
• Eine Überdeckung heißt σ-lokalendlich, wenn sie als abzählbare Vereinigung $\cup_{n\in \N}\mathcal{A}_n$ von Mengenfamilien $\mathcal{A}_n$ geschrieben werden kann, so dass jeder Punkt des Raumes zu jedem n eine Umgebung hat, die höchstens endlich viele Mengen aus $\mathcal{A}_n$ schneidet.
• Eine Überdeckung heißt σ-diskret, wenn sie als abzählbare Vereinigung $\cup_{n\in \N}\mathcal{A}_n$ von Mengenfamilien $\mathcal{A}_n$ geschrieben werden kann, so dass es zu jedem Punkt und zu jedem n eine Umgebung dieses Punktes gibt, die höchstens eine der Mengen aus $\mathcal{A}_n$ schneidet. Die σ-diskreten und σ-lokalendlichen Überdeckungen spielen eine wichtige Rolle im Satz von Bing-Nagata-Smirnow.

Siehe auch

• Lebesgue’sche Überdeckungsdimension

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).