Quantisierungstheorem

Das Quantisierungstheorem liefert im Rahmen der Signaltheorie bei der Quantisierung, dies ist die Überführung von einem wertkontinuierlichen Signal in ein wertdiskretes Signal, eine Aussage über die fehlerfreie Rekonstruierbarkeit des ursprünglichen wertkontinuierlichen Signals. Es stellt das Pendant zu dem Nyquist-Shannon-Abtasttheorem dar, welches die Grenzen zur fehlerfreien Rekonstruktion im Zeitbereich bei der Abtastung beschreibt. Das Quantisierungstheorem wurde 1961 von Bernard Widrow mit Hilfe der Fouriertransformation von Verteilungsdichten formuliert und ist dem Bereich der statistischen Signalverarbeitung zuzuordnen.^[1]

Beschreibung

Zonenabtastung und Spektraldarstellung

Ein amplitudenkontinuierliches und bandbegrenztes Signals x mit einer Verteilungsdichtefunktion p_X(x), wie in der Abbildung links oben dargestellt, wird durch den Quantisierer Q in ein amplitudendiskretes Signal y mit der Verteilungsdichtefunktion p_Y(y) übergeführt. Die kontinuierliche Verteilungsfunktion p_X(x) wird durch Integration über die einzelnen Quantisierungsintervalle mit der Breite Q, in der Skizze begrenzt durch die strichlierten Bereiche, in eine diskrete Verteilungsdichtefunktion p_Y(y) umgewandelt. Die beiden zugehörigen Frequenzspektren P_X(u) und P_Y(u) der Verteilungsdichtefunktionen, welche durch die Fouriertransformation und die diskrete Fourier-Transformation $\mathcal{F}$ gebildet werden, sind in der Skizze rechts mit roten Verlauf beispielhaft dargestellt. Durch die Diskretheit der Verteilungsdichtefunktion p_Y(y) weist das zugehörige Spektrum P_Y(u) eine periodische Fortsetzung mit der Quantisierungsfrequenz u₀ auf.

Das Quantisierungstheorem besagt nun, dass wenn die Quantisierungsfrequenz u₀ mit:

$u_0 = \frac{2 \pi}{Q}$

doppelt so groß wie die höchste Frequenzkomponente in P_X(u) ist sich dann die einzelnen Frequenzkomponenten P_Y(u) der zeitdiskreten Verteilungsdichtefunktion nicht überlappen. Dieser Fall ist in der Abbildung rechts unten dargestellt. Nur dann ist eine Rekonstruktion der wertkontinuierlichen Verteilungsdichtefunktion p_X(x) aus der quantisierten Verteilungsdichtefunktion p_Y(y) möglich.

Ist die doppelte Quantisierungsfrequenz kleiner als doppelte Frequenzkomponente in P_X(u), kommt es zu einer spektralen Überlappung bei der Verteilung der diskreten Verteilungsdichtefunktion und eine fehlerfreie Abbildung auf die wertkontinuierliche Verteilungsdichtefunktion ist nicht möglich.

Quellen

1. ↑ Bernhard Widrow: Statistical Analysis of Amplitude-Quantized Sampled-Data Systems. In: AIEE Transactions on Applications and Industry. 1961 S. 1–14 (PDF).

Literatur

• Bernard Widrow, István Kollár: Quantization Noise: Roundoff Error in Digital Computation, Signal Processing, Control, and Communications. Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-88671-0.