Frequenzspektrum

Das Frequenzspektrum, auch Spektrum, Spektralverteilung oder im Zusammenhang mit zeitabhängigen Signalen selten Frequenzgang,^[1] ist eine von der Frequenz abhängige Funktion. Sie gibt die Zusammensetzung eines Signals aus seinen von der Frequenz abhängigen Signalbestandteilen an.

Im Allgemeinen ist das Frequenzspektrum $\underline X$ komplexwertig. Sein Betrag $|{\underline X}|$ heißt Amplitudenspektrum, sein Phasenwinkel $\arg{\underline X}$ heißt Phasenspektrum.

Der Begriff Frequenzspektrum umfasst viele unterschiedliche Phänomene aus allen Bereichen der Physik wie beispielsweise aus der Optik, der Akustik, der Elektrodynamik oder der Mechanik:

• Die Frequenz des Lichtes bestimmt seine Farbe. Natürliches Licht wie beispielsweise das Sonnenlicht besteht aus einer Mischung aus Lichtwellen vieler verschiedener Frequenzen.
• Die Frequenz eines Tones oder Klanges bestimmt seine Tonhöhe. Der Klang eines Musikinstruments oder der menschlichen Sprache setzt sich aus Grundtönen verschiedener Frequenzen zusammen.
• Das Frequenzgemisch eines Rundfunksignals enthält die Bild- und Toninformation.
• Die Frequenz einer mechanischen Schwingung bestimmt, wie oft sich die Schwingung in einer bestimmten Zeit wiederholt. Eine komplizierte mechanische Schwingung ist beispielsweise die Auslenkung eines Seismographen bei einem Erdbeben. Sie setzen sich aus Schwingungen verschiedener Frequenzen zusammen.

Das Frequenzspektrum eines Signals lässt sich aus dem zugrundeliegenden Signal durch Anwendung der Fouriertransformation berechnen. Die Darstellung im Frequenzbereich dient in Physik und Technik dazu, physikalische Vorgänge einfacher zu beschreiben als durch Funktionen der Zeit oder des Ortes.

Frequenzspektrum eines Zeitsignals

Aufgrund der häufigen Verwendung wird zunächst die Klasse der sogenannten Zeitsignale beschrieben. Dem Frequenzspektrum eines Zeitsignals liegt die Anschauung zugrunde, dass sich ein von der Zeit abhängiges Signal x(t) mithilfe der Transformationsregeln von Fourierreihe bzw. Fouriertransformation als eine Summe oder ein Integral von komplexen Exponentialfunktionen verschiedener Frequenzen zusammensetzen lässt. Die komplexen Exponentialfunktionen heißen in diesem Zusammenhang "Aufbaufunktionen" ^[2]. Das Frequenzspektrum beschreibt, mit welcher Wichtung (d. h. Stärke) die zu der jeweiligen Frequenz zugehörige Aufbaufunktionen in das Gesamtsignal eingeht. Zur rechnerischen Darstellung der Signalsynthese werden die Formeln zur Fourier-Rücktransformation dargestellt. Dazu ist es erforderlich zu unterscheiden, welche Art von Signal vorliegt.

Periodisches Signal mit diskretem Spektrum

Ist das Signal x eine zeitkontinuierliche periodische Funktion mit der Periodendauer T, so lautet die zugehörige Gleichung:

$\displaystyle x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \underline X(n) \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi (n \cdot f_0) t}$

Die Gleichung beschreibt das Signal x(t) als eine Summe von komplexen Exponentialschwingungen e^j2πft der Frequenzen $f = 0, \pm f_0, \pm 2 \cdot f_0, \pm 3 \cdot f_0 ...$. Als Spektrum $\underline X$ des Signals x bezeichnet man die Funktion

$\underline X: \mathbb{Z}_0 \rightarrow \mathbb{C}, n \rightarrow \underline X(n) =\frac1T\int_{0}^{T} x(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}2 \pi (n \cdot f_0) t} dt,$

mit der Grundfrequenz $f_0=\frac 1 T$. Die Zahl $n \in \mathbb{Z}$ steht stellvertretend für das n-fache $n \cdot f_0$ der Grundfrequenz. Die komplexe Exponentialschwingung e^j2πft kann durch die Gleichung $\mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi f t} = \cos(2 \pi f t) + i \sin(2 \pi f t), ~ i = \sqrt{-1}$ beschrieben werden. Da das Spektrum nur für die diskreten Frequenzen $n \cdot f$ definiert ist, spricht man von einem diskreten Spektrum bzw. von einem Linienspektrum.

Nichtperiodisches Signal mit kontinuierlichem Spektrum

Ist das Signal x(t) eine nichtperiodische zeitkontinuierliche Funktion mit endlicher Signalenergie, so lautet die zugehörige Transformationsgleichung:

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \underline X(f) \textrm{e}^{i 2 \pi f t} df$

Als Spektrum $\underline X$ des Signals x bezeichnet man in diesem Fall die Funktion

$\underline X: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}, f \rightarrow \underline X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{i} 2 \pi f t} dt.$

Da das Spektrum für alle reellwertigen Frequenzen definiert ist, spricht man auch von einem sogenannten kontinuierlichen Spektrum. Das Spektrum der kontinuierlichen Fouriertransformation lässt sich als Grenzfall des Linienspektrums der Fourierreihe für den Grenzübergang $T \to \infty$ einer unendlich großen Signal-Periodendauer darstellen.

Erläuterungen und weitere Signalklassen

Beide Frequenzspektren sind sowohl für positive, als auch für negative Frequenzen definiert. Für reellwertige Signale x(t) sind die Spektren für positive und negative Frequenzen jedoch voneinander abhängig, und es gilt: $\underline X(f) = \underline X(-f)^*$. Der Stern ^* kennzeichnet die komplexe Konjugation. In der Regel wird daher das Spektrum negativer Frequenzen nur für komplexwertige Signale angezeigt.

Im Rahmen der Theorie der Fourieranalyse sind auch für weitere Klassen von Signalen Transformationsformeln definiert, beispielsweise für zeitdiskrete, wertkontinuierliche Signale, d. h. abgetastete Analogsignale. Die Begriffe Frequenzspektrum, Amplitudenspektrum und Phasenspektrum werden dabei analog als komplexe Funktion sowie deren Beträge und Phasen definiert. Die Details werden im Artikel über die Fouriertransformation und den darin enthaltenen Verlinkungen dargestellt.

Im Zusammenhang mit nichtperiodischen Leistungssignalen wie Rauschsignalen existiert der Begriff der spektralen Leistungsdichte, der ähnlich wie das Frequenzspektrum ebenfalls die spektrale Zusammensetzung eines Signals beschreibt. Die Besonderheit von nichtperiodischen Leistungssignalen besteht darin, dass sie nicht fouriertransformierbar sind. Das ist daran zu erkennen, dass die zugehörigen Transformationsintegrale divergieren. Trotzdem kann ein Zusammenhang mit dem Begriff der Fouriertransformation hergestellt werden, der für die messtechnische Praxis bedeutend ist. Falls dem Signal ein ergodischer Entstehungsprozess zugrunde liegt, kann man die spektrale Leistungsdichte näherungsweise dadurch ermitteln, dass man ein Teilsignal endlicher Dauer des eigentlich unendlich langen Signals einer Fouriertransformation unterzieht. Das Quadrat $|{\underline X}|^2$ der Fouriertransformierten ist dann näherungsweise proportional zur spektralen Leistungsdichte.

Beispiele

Elementare Signale

Die Spektren elementarer Signale sind in den Beschreibungen der zugehörigen Signaltransformationen enthalten, siehe Beispiele zur Fourierreihe und Beispiele zur Fouriertransformation. Beispielhaft sollen mehrere Spektren einfacher Signale angezeigt werden. Das vierte Beispiel zeigt den Einfluss des Phasenspektrums auf ein schmalbandiges Signal.

Amplitudenspektrum eines Sinussignals.

Amplitudenspektrum eines Rechtecksignals.

Amplitudenspektrum eines Rechteckpulses.

Amplitudenspektrum zweier Burstsignale mit Phasenspektren.

Amplitudenspektrum eines Audiosignals

Als Beispiel soll das Amplitudenspektrum des folgenden Geigentons betrachtet werden

• Geigenton d' in wohltemperierter Stimmung (294 Hz)^?/i

Das Spektrum des Geigentons ist abhängig von dem Zeitabschnitt, den man zur Analyse wählt. Betrachtet man einen Signalausschnitt, der während des Streichens der Saiten aufgenommen wurde, so erkennt man außer der Grundfrequenz von f₀ = 294 Hz deutliche Frequenzanteile der ganzzahligen Vielfachen f_n = nf₀. Diese lassen sich dadurch erklären, dass die Saite nicht nur in ihrer Grundwelle schwingt, bei der die Saite auf ihrer gesamten Länge eine Auslenkung erfährt, sondern sich außer am Rand zusätzliche Knotenpunkte bei 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 2/4, 3/4, … der Saitenlänge ausbilden. Die Schwingung bei einem Vielfachen des Grundtons heißt im musikalischen Sprachgebrauch Oberton. Die Ausprägung der einzelnen Obertone wird nicht nur durch die Schwingung der Saite allein, sondern durch die Gesamtanordnung des Instruments (Saite, Resonanzkörper, Saitendruck beim Streichen bzw. Auslenkung beim Zupfen) bestimmt. Im Gegensatz zum Signalausschnitt während des Streichens zeigt der Signalausschnitt, der das Ausklingens des Tones berücksichtigt, keine markanten Obertonanteile auf.

Leistungsdichtespektren von Licht

Spektrale Zerlegung des Sonnenlichtes: Sonnenlicht weist ein kontinuierliches Spektrum auf.

Spektrogramm einer Quecksilberdampflampe; die Zahlen geben die Wellenlänge der Spektrallinien des Quecksilbers in Nanometer an. Weitere Bänder tragen keine Zahlen – das sind die Emissionen der durch die UV-Strahlung des Quecksilber-Plasmas angeregten Leuchtstoffe

Licht lässt sich als eine elektromagnetische Welle beschreiben und wird durch den Vektor $\vec E$ der elektrischen Feldstärke und den zugehörigen Vektor $\vec H$ der magnetischen Feldstärke charakterisiert. Betrachtet man eine Komponente E des elektrischen Feldstärkevektors einer Lichtwelle an einem festen Ort, so liegt ein Signal E(t) vor, das im Falle eines Signals endlicher Dauer mithilfe der kontinuierlichen Fouriertransformation in seine spektralen Anteile zerlegt werden kann.

Die Phase des elektrischen Feldstärkevektors von Licht ist aufgrund der hohen Frequenzen des Lichtes nur schwer direkt messbar. So umfasst das Spektrum des sichtbaren Lichtes beispielsweise den Wellenlängenbereich (λ) von ungefähr 380–780 nm (vgl. Lichtspektrum). Entsprechend der Formel f = c / λ mit der Lichtgeschwindigkeit (c) des Vakuums ergibt sich daraus ein Frequenzbereich (f) von 384–789 × 10¹² Hz. Das Betragsquadrat der Fouriertransformierten eines Lichtsignals endlicher Dauer, d. h. seine spektrale Leistungsdichte, ist hingegen gut erfassbar. Meist wird daher im Zusammenhang mit Licht die spektrale Leistungsdichte des Lichtes angegeben. Sie ist proportional zur Intensität des Lichtes bei der jeweiligen Frequenz.

Eine Möglichkeit, um die spektrale Zusammensetzung von Licht sichtbar zu machen, besteht in der Benutzung eines optischen Prismas. Dabei nutzt man die Tatsache aus, dass das Licht in Abhängigkeit von seiner Frequenz unterschiedlich stark an den Kanten des Prismas gebrochen wird. Der Mensch kann Lichtsignale von nur einer Frequenz anhand der Farbe erkennen, und kann die Leistungsdichten der Lichtwelle aufgrund der empfundenen Helligkeit voneinander unterscheiden.

In Experimenten kann man zeigen, dass das natürliche Sonnenlicht ein kontinuierliches Leistungsdichtespektrum aufweist. Im Prismenversuch ergibt sich das typische Regenbogenspektrum. Im Gegensatz zum Sonnenlicht weist das Spektrum einer Quecksilberdampflampe eine spektrale Leistungsdichte auf, die eher einem Linienspektrum ähnelt.

Ortsfrequenzspektren

Hängt das zugrundeliegende Signal s nicht von der Zeit t, sondern von Koordinaten des Ortes ab, so spricht man von einem sogenannten Ortsfrequenzspektrum. Ortsfrequenzspektren können ein-, zwei- oder dreidimensional sein, je nachdem, ob ein-, zwei- oder dreidimensionale Strukturen analysiert werden. Sie können sowohl einen kontinuierlichen, als auch einen diskreten Definitionsbereich aufweisen.

Beispiele für Strukturen mit kontinuierlichem Definitionsbereich sind

• der Grauwertverlauf entlang einer Linie (eindimensional)
• der Grauwertverlauf einer Schwarz-Weiß-Photographie (zweidimensional)
• die Intensitätsverteilung einer physikalische Größe im Raum (dreidimensional)

Beispiele für Strukturen mit diskretem Definitionsbereich sind

• der Grauwertverlauf auf diskreten Punkten entlang einer Linie (eindimensional)
• der Grauwertverlauf auf diskreten Punkten einer Schwarz-Weiß-Photographie (zweidimensional), z. B. Pixelgraphik
• die Punktverteilung eines Kristallgitters im Raum

Analog wie bei dem Frequenzspektrum einer Zeitfunktion liegt dem Ortsfrequenzspektrum die Anschauung zugrunde, dass sich das Gesamtsignal s(x,y,z) mithilfe der Transformationsregeln der Fourierreihe bzw. der Fouriertransformation als eine Summe oder ein Integral von komplexen Exponentialfunktionen der Ortsfrequenzen f_x, f_y und f_z zusammensetzen lässt.

Phase der Aufbaufunktionen bei der 2d-Fouriertransformation

Die Exponentialfunktion lässt sich durch die vom Ort abhängige Signalphase veranschaulichen. Dies wird für den Fall einer zweidimensionalen Transformation in dem nebenstehenden Bild für verschiedene Ortsfrequenzen angezeigt. Man erkennt, dass im allgemeinen der Vektor $\vec f = (f_x , f_y , f_z)$ die Richtung der maximalen Phasenänderung angibt.

Nichtperiodisches Signal mit kontinuierlichem Spektrum

Ist das Signal s(x,y,z) eine nichtperiodische zeitkontinuierliche Funktion der drei Ortskoordinaten x, y und z, so lautet die zugehörige Transformationsgleichung:

$s(x,y,z) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \underline S(f_x,f_y,f_z) \textrm{e}^{i 2 \pi (f_x x + f_y y + f_z z)} df_x df_y df_z$

Als Ortsfrequenzspektrum $\underline S(f_x, f_y, f_z)$ des Signals s bezeichnet man die Funktion

$\underline S: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{C}, (f_x, f_y, f_z) \rightarrow \underline S(f_x, f_y, f_z) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} s(x,y,z) \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{i} 2 \pi (f_x x + f_y y + f_z z)} dx dy dz.$

Messen des Frequenzspektrums

Das Frequenzspektrum eines elektrischen Signals kann mit einem Spektrumanalysator oder Signalanalysator gemessen werden. Das Spektrum wird dann z. B. mit Hilfe der Fourieranalyse (siehe auch Fouriertransformation) oder nach dem Prinzip des Überlagerungsempfängers aus dem Zeitsignal bestimmt. Als Ergebnis dieser Transformation erhält man die Amplituden der jeweiligen Frequenzanteile A(f) als Funktion der Frequenz f und im Falle zeitlich veränderlicher Amplitudenverteilungen eine Verteilung A(f,t) als Funktion der Frequenz f und der Zeit t.

Charakteristische Spektren

Abhängig von der Anzahl und der Harmonik der enthaltenen Frequenzen ergibt das Spektrum eines (eindimensionalen) Audiosignals einen Klang (Harmonisch), ein Klanggemisch (wenige unharmonische Frequenzen), ein Geräusch (unharmonisch) oder ein Rauschen (alle Frequenzen, statistisch auftretend).

Periodische Signale haben in der Regel ein Linienspektrum, während nichtperiodische Signale, wie z. B. Impulse, ein kontinuierliches Frequenzspektrum haben.

Frequenzspektrum einer Dreieckspannung. Grundfrequenz 220 Hz.

Beispiele

• Eine reine Sinusschwingung hat als Frequenzspektrum nur die eine Linie ihrer Frequenz.
• Ein Rechtecksignal der Frequenz f hat ein Linienspektrum mit den Frequenzen f, 3·f, 5·f, …
• Mit einem Impulsgenerator kann man lückenlos alle Oberwellen bis zu extrem hohen Frequenzen erzeugen.
• Ein Ton auf einem Musikinstrument erklingt immer zusammen mit seinen Oberschwingungen. Die Menge aller klingenden Frequenzen ist das Frequenzspektrum dieses Tones.
• Ein amplitudenmodulierter Radio-Sender (z. B. auf Mittelwelle), der Sprache und Musik bis 8 kHz auf 1 MHz überträgt, besitzt ein Frequenzspektrum von 0,992 bis 1,008 MHz.
• Sendet das System elektromagnetische Strahlung aus, so spricht man vom elektromagnetischen Spektrum.

Weitere Bedeutungen

Im erweiterten Sinne bezeichnet Frequenzspektrum eine Auflistung von Frequenzen, die im Bezug auf eine bestimmte Betrachtungsweise zusammen gesehen werden müssen, z. B. das Frequenzspektrum der Radio- und Fernseh-Kanäle; siehe Frequenzband.

Ein Antwortspektrum dient der Bemessung von Bauwerken gegen die Belastung durch Erdbeben.

Siehe auch

• Kippschwingung
• Rechteckschwingung
• Schwebung

Einzelnachweise

1. ↑ K. Reinschnke: Lineare Regelungs- und Steuerungstheorie, Springer-Verlag, S. 44 (Eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche)
2. ↑ Rüdiger Hoffmann: Signalanalyse und -erkennung: Eine Einführung für Informationstechniker, Springer, 1998, S. 69. Zitat im Zusammenhang mit der komplexen Fourierreihe: „Die Reihe kann als orthogonale Entwicklung der Funktion x nach dem System von Aufbaufunktionen $\phi_n(t)=e^{jn\omega_0t}, n=-\infty...+\infty$ interpretiert werden, […]“

Literatur

• Curt Rint: Handbuch für Hochfrequenz- und Elektro-Techniker, Band 2. 13. Auflage, Hüthig und Pflaum Verlag GmbH, Heidelberg 1981, ISBN 3-7785-0699-4
• Gregor Häberle, Heinz Häberle, Thomas Kleiber: Fachkunde Radio-, Fernseh-, und Funkelektronik. 3. Auflage, Verlag Europa Lehrmittel, Haan-Gruiten 1996, ISBN 3-8085-3263-7
• Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-8171-1628-4
• Thomas Görne: Tontechnik. 1. Auflage, Carl Hanser Verlag, Leipzig 2006, ISBN 3-446-40198-9

Weblinks

 Commons: Frequency spectrum – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien