Satz von König (Mengenlehre)

Der Satz von König ist ein Satz aus der Mengenlehre, der von dem ungarischen Mathematiker Julius König 1905 entdeckt wurde. Der Satz ist eine strikte Ungleichung zwischen zwei Kardinalzahlen.

Aussage

Für eine Familie $\langle\kappa_i\mid i\in I\rangle$ von Kardinalzahlen ist die Summe dieser Kardinalzahlen die Mächtigkeit der disjunkten Vereinigung von Mengen der Mächtigkeit κ_i,

$\sum_{i\in I}\kappa_i =\vert\bigcup_{i\in I}M_i\vert,$

und das Produkt die Mächtigkeit des kartesischen Produkts,

$\prod_{i\in I}\kappa_i = | \prod_{i \in I} M_i| = \vert\{f\colon I\to\textstyle\bigcup_{i\in I}M_i\mid\forall i\in I\ f(i)\in M_i\}\vert.$

Hierbei sind die M_i paarweise disjunkte Mengen mit $\vert M_i\vert=\kappa_i$, zum Beispiel $M_i = \kappa_i \times \{i\}$. Die Wohldefiniertheit beider Operationen folgt aus dem Auswahlaxiom.

Der Satz von König besagt nun:

Für zwei Kardinalzahlfolgen $\langle\kappa_i\mid i\in I\rangle$ und $\langle\lambda_i\mid i\in I\rangle$ mit κ_i < λ_i für alle $i \in I$ gilt:

$\sum_{i\in I}\kappa_i<\prod_{i\in I}\lambda_i$.

Beweis

Seien $\langle X_i\mid i\in I\rangle$, $\langle Y_i\mid i\in I\rangle$ zwei Familien von paarweise disjunkten Mengen mit $\vert X_i\vert=\kappa_i<\lambda_i=\vert Y_i\vert$. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man annehmen, dass $X_i \subsetneq Y_i$. Es ist zu zeigen: Es gibt eine injektive, aber keine bijektive Abbildung

$\Phi\colon \bigcup_{i\in I} X_i\to \prod_{i \in I} Y_i = \{f \colon I\to\textstyle\bigcup_{i\in I} Y_i\mid\forall i\in I \ f(i)\in Y_i\}$

Für jedes $i\in I$ sei α_i ein Element aus $Y_i\setminus X_i$. Sei $\textstyle x\in\bigcup_{i\in I}X_i$. Dann gibt es ein eindeutiges $j\in I$ mit $x\in X_j$. Sei $\textstyle f:=\Phi(x) \in \prod_{i \in I} Y_i$ die Funktion mit

$f(i)=\begin{cases} x, & i=j\\ \alpha_i, & i\neq j\end{cases}$.

Dann ist Φ injektiv.

Sei nun eine beliebige solche Abbildung Φ gegeben. Für $i\in I$ definiere f(i) als ein Element aus $Y_i\setminus\{\Phi(x)(i)\vert x\in X_i\}$. Dann ist f an der Stelle i verschieden von allen Bildern von Φ aus X_i. Da dies für alle $i\in I$ gilt, ist Φ nicht surjektiv und damit nicht bijektiv.

Folgerungen

Aus dem Satz von König lassen sich weitere Ungleichungen unmittelbar herleiten (κ und λ seien beliebige Kardinalzahlen):

• Ist $\lambda=\operatorname{cf}\kappa$ gleich der Konfinalität von κ, so gilt: κ^λ > κ.
• $\operatorname{cf}(\kappa^\lambda)>\lambda$

Literatur

• Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
• König, Julius: Zum Kontinuumsproblem, Mathematische Annalen 60 (1905), 177-180.