Varianz (Stochastik)

Dichten zweier normalverteilter Zufallsvariablen mit gleichem Erwartungswert aber unterschiedlichen Varianzen. Die rote Kurve hat eine geringere Varianz (entsprechend der Breite) als die grüne. Die Wurzel der Varianz, die Standardabweichung, kann bei der Normalverteilung an den Wendepunkten ersehen werden.

In der Stochastik ist die Varianz einer Zufallsvariable X ein Streuungsmaß von X, d. h. ein Maß für die Abweichung einer Zufallsvariable X von ihrem Erwartungswert $\operatorname {E}(X)$. Die Varianz der Zufallsvariable X wird üblicherweise als $\operatorname{V}(X)$, $\operatorname{Var}(X)$, $\sigma_X^2$ oder einfach als σ² notiert; sie ist stets ≥ 0.

Die Varianz ist eine Eigenschaft der Verteilung einer Zufallsvariablen und hängt nicht vom Zufall ab. Sie misst Streuung der Werte relativ zum Erwartungswert, dabei werden die Quadrate der Abweichungen entsprechend ihrer Wahrscheinlichkeit gewichtet. In der Praxis wird die Varianz der Zufallsvariable mit einem Varianzschätzer, etwa der ihrer empirischen Entsprechung, der Stichprobenvarianz, geschätzt.

Definition

Es sei X eine Zufallsvariable, wofür $E|X|< \infty$. Dann existiert der Erwartungswert $\mu = \operatorname E(X)$, und man definiert die Varianz von X wie folgt:

$\operatorname{Var}(X) := \operatorname V(X) := \operatorname E\left( (X-\mu)^2\right).$

Ist X quadratisch integrierbar, so ist die Varianz endlich.

Die Varianz ist also das zweite zentrale Moment einer Zufallsvariablen und damit die erwartete quadratische Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert.

Die Quadratwurzel der Varianz heißt Standardabweichung:

$\sigma_X :=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$.

Im Falle eines reellen Zufallsvektors X mit quadratisch integrierbaren Komponenten, verallgemeinert sich der Varianz zu der Kovarianzmatrix der einzelne Zufallsvariablen:

$\operatorname{Cov}(X) := \operatorname E\left((X-\mu)(X-\mu)^T\right).$

Dabei ist $\mu = \operatorname E(X)$ der Vektor der Erwartungswerte.

Berechnung bei diskreten Zufallsvariablen

Eine reelle Zufallsvariable mit einem endlichen oder abzählbar unendlichen Wertebereich A wird diskret genannt. Ihre Varianz berechnet sich dann als

$\operatorname{Var}(X) = \sum_{x \in A} (x - \mu)^2 P(X = x).$

Hierbei ist P(X = x) die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert x annimmt, und

$\mu = \sum_{x \in A} x P(X=x)$

der Erwartungswert von X. Die Summen erstrecken sich jeweils über alle Werte, die die Zufallsvariable X annehmen kann.

Berechnung bei stetigen Zufallsvariablen

Wenn eine Zufallsvariable X eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x) hat, gilt

$\operatorname{Var}(X)\ = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) \, \mathrm{d}x,$

wobei

$\mu\ = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, \mathrm{d}x.$

Rechenregeln

Verschiebungssatz

Varianzen lassen sich oft einfacher mit Hilfe des Verschiebungssatzes

$\operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}\left(\left(X-\operatorname{E}(X)\right)^2\right)=\operatorname{E}\left(X^2\right)-\left(\operatorname{E}(X)\right)^2$

berechnen, da hierzu außer dem Erwartungswert von X nur noch der Erwartungswert von X² bestimmt werden muss.

Lineare Transformation

$\operatorname{Var}(aX+b) = a^2 \operatorname{Var}(X)$

dies kann mittels des Verschiebungssatzes hergeleitet werden:

$\begin{align} \operatorname{Var}(aX+b) &= \operatorname{E}[ (aX + b - \operatorname{E}(aX + b))^2 ]\\ &= \operatorname{E}[ (aX + b - b - a \operatorname{E}(X))^2 ]\\ &= \operatorname{E}[ a^2 (X - \operatorname{E}(X))^2 ]\\ &= a^2 \operatorname{E}[ (X - \operatorname{E}(X))^2 ]\\ &= a^2 \operatorname{Var}(X) \end{align}$

Varianz von Summen von Zufallsvariablen

$\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^na_iX_i\right)=\sum_{i=1}^na_i^2\operatorname{Var}(X_i)+2\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^na_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j)$

Hierin ist Cov(X_i,X_j) die Kovarianz der Zufallsvariablen X_i und X_j.

Sind die Zufallsvariablen paarweise unkorreliert, so sind die Kovarianzen gleich Null und damit gilt:

$\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^na_iX_i\right)=\sum_{i=1}^na_i^2\operatorname{Var}(X_i)$

Der Satz

$\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)=\sum_{i=1}^n\operatorname{Var}(X_i)$

im Falle unkorrelierten Zufallsvariablen, wird auch als Formel von Bienaymé (nach Irénée-Jules Bienaymé) bezeichnet.

Charakteristische Funktion

Die Varianz lässt sich mit dem Verschiebungssatz und der charakteristischen Funktion $\varphi$ der Zufallsvariablen X darstellen als:

$\operatorname{Var}(X) = \frac{\varphi_X''(0)}{\mathrm{i}^{2}} - \left(\frac{\varphi_X'(0)}{\mathrm{i}}\right)^{2} = \left( \varphi_X'(0)\right)^2 -\varphi_X''(0)$

|=== Momenterzeugende Funktion === Da zwischen der charakteristischen und der momenterzeugenden Funktion der Zusammenhang

$\begin{align} \frac{\varphi_X'(0)}{\mathrm{i}} &= M_X'(0) = \operatorname{E}(X)\\ \frac{\varphi_X''(0)}{\mathrm{i}^{2}} &= M_X''(0) = \operatorname{E}(X^{2})\\ &\;\vdots \\ \frac{\varphi_X^{(n)}(0)}{\mathrm{i}^{n}} &= M_X^{(n)}(0) = \operatorname{E}(X^{n}) \end{align}$

gilt, lässt sich die Varianz auch in dieser Form ohne die Verwendung komplexer Zahlen abbilden: (Zur obigen Berechnung von $\varphi$ wird immer $\operatorname{i}$ benötigt.)

$\operatorname{Var}(X) = M_X''(0) - \left( M_X'(0)\right)^2$

Beispiele

Diskrete Zufallsvariable

Gegeben ist eine diskrete Zufallsvariable X mit den Wahrscheinlichkeiten

i	1	2	3
xi	−1	1	2
P(xi)	0,5	0,3	0,2

wobei der Erwartungswert

$\operatorname{E}(X) = -1 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}3 + 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}2$

beträgt.

Die Varianz ist demnach

$\operatorname{Var}(X) = (-1-0{,}2)^2 \cdot 0{,}5 +(1-0{,}2)^2 \cdot 0{,}3 +(2-0{,}2)^2 \cdot 0{,}2 = 1{,}56$

Mit dem Verschiebungssatz erhält man entsprechend

$\operatorname{Var}(X) = (-1)^2 \cdot 0{,}5 +1^2 \cdot 0{,}3 +2^2 \cdot 0{,}2 - 0{,}2^2 = 1{,}56.$

Für die Standardabweichung ergibt sich damit

$\sigma_X = \sqrt{\operatorname{Var}(X)} = \sqrt{1{,}56} = 1{,}249$

Stetige Zufallsvariable

Eine stetige Zufallsvariable habe die Dichtefunktion

$f(x) = \begin{cases} \frac {1}{x} & \text{ falls } 1 \le x \le e \\ 0 & \text{ sonst } \end{cases}$

Mit dem Erwartungswert

$\operatorname{E}(X) = \int_1^e x \cdot \frac {1}{x} dx = e - 1$

berechnet sich die Varianz mit Hilfe des Verschiebungssatzes als

$\begin{align} \operatorname{Var}(X) &= \int_{-\infty}^\infty x^2 \cdot f(x) dx - (\operatorname{E}(X))^2\\ &= \int_1^e x^2 \cdot \frac {1}{x} dx - (e - 1)^2\\ &= \left[ \frac{x^2}{2}\right] _1^e - (e - 1)^2\\ &= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} -(e-1)^2\\ &\approx 0{,}242 \end{align}$

Weblinks

• Varianz in Mathworld