Singularität (Maßtheorie)

Ein Maß $\nu: \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]$ heißt singulär bezüglich μ (auch singulär zu μ oder μ-singulär), wenn es eine Menge $N \in \mathcal{F}$ gibt mit

$\nu(\Omega \setminus N)+\mu(N)=0$.

Hierbei sind die Maße μ und ν auf dem gleichen Messraum $(\Omega,\mathcal{F})$ definiert.

Für „ν ist singulär bezüglich μ“ schreibt man kurz $\nu \perp \mu$.

Die Singularität von Maßen ist eine symmetrische Relation. Es gilt folglich:

$\nu \perp \mu \Leftrightarrow \mu \perp \nu$

Sie spielt eine große Rolle bei der Klassifizierung von Maßen bezüglich einem anderen Maß und findet besondere Anwendung beim Zerlegungssatz von Lebesgue sowie beim Darstellungssatz in der Stochastik.

Beispiele

• Das Null-Maß ist bezüglich jedem anderen Maß auf einem beliebiegem Messraum singulär.
• Jedes Dirac-Maß auf $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ ist bezüglich dem Lebesgue-Maß singulär.
• Jede diskrete Verteilung auf $(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n))$ ist bezüglich dem Lebesgue-Maß singulär.
• Die Cantor-Verteilung auf dem Messraum $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ ist eine stetige, singuläre Verteilung bezüglich dem Lebesgue-Maß.

Literatur

• Schmidt, Klaus D.: Maß und Wahrscheinlichkeit, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009, ISBN: 978-3-540-89729-3
• Klenke, Achim: Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008, ISBN: 978-3-540-76317-8

Siehe auch

Absolutsteigkeit