Zerlegungssatz von Lebesgue

Der Zerlegungssatz von Lebesgue (auch Lebesgue-Zerlegung) zeigt die Zerlegbarkeit eines σ-endlichen Maßes in einen absolutstetigen und singulären Anteil bezüglich eines anderen σ-endlichen Maßes an.

Seien μ und ν zwei σ-endliche Maße auf demselben Messraum $(\Omega, \mathcal{F})$. Dann gibt es zwei Maße ψ und φ auf $(\Omega, \mathcal{F})$ mit $\psi \ll \mu$, $\varphi \perp \mu$ und $\psi \perp \varphi$ so dass die Zerlegung

ν = ψ + φ

eindeutig bestimmt ist. Dabei bedeutet $\psi \ll \mu$, dass ψ absolutstetig gegen μ ist, und $\varphi \perp \mu$ bedeutet, dass φ und μ singulär zueinander sind.

Die beiden Maße ψ und φ können mit Hilfe des Satzes von Radon-Nikodym berechnet werden, denn nach diesem existiert eine (μ + ν)-fast überall eindeutig bestimmte Funktion π mit $\textstyle \mu = \int \pi d(\mu + \nu)$. Mit der Menge $N = \{\omega \in \Omega: \pi(\omega) = 0\}$ werden nun die Maße ψ, φ: $\mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]$ durch

$\psi(A):= \nu(A\cap (\Omega \setminus N))$

$\varphi(A):= \nu(A \cap N)$

eindeutig definiert.

Der Zerlegungssatz von Lebesgue findet Anwendung im Darstellungssatz in der Stochastik.

Literatur

• Schmidt, Klaus D.: Maß und Wahrscheinlichkeit, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009, ISBN: 978-3-540-89729-3
• Klenke, Achim: Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008, ISBN: 978-3-540-76317-8

Siehe auch

Absolutsteigkeit, Singularität