- Cantor-Verteilung
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Die Cantor-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die singulär bezüglich des Lebesgue-Maßes ist. Die dazugehörige Verteilungsfunktion wird als Cantorfunktion oder auch Teufelstreppe bezeichnet.
Inhaltsverzeichnis
Konstruktion der Cantor-Verteilung
Die Cantorverteilung
(mit
als Borelsche σ-Algebra) kann nicht einfach explizit angegeben werden. Sie muss rekursiv konstruiert werden, ähnlich wie die Cantormenge.
1. Variante der Konstruktion
Wenn man vom gleichverteilten Maß auf der Menge {0,1} ausgeht, erhält man auf der Menge
ein Produktmaß. Dieses Maß μ lässt sich so interpretieren: Man betrachtet ein Experiment, in dem unendlich oft eine faire Münze geworfen wird; Elemente von
lassen sich als Ausgänge des Experiments interpretieren (die Folge
bedeutet zum Beispiel, dass immer abwechselnd Kopf und Zahl aufgetreten sind). Das Maß μ weist einer Teilmenge von
nun seine Wahrscheinlichkeit zu. Zum Beispiel besagt das starke Gesetz der großen Zahlen, dass die Menge G der „gleichverteilten“ Folgen Wahrscheinlichkeit 1 hat, wobei G die folgenden Menge ist:
Das oben genannte Maß μ lässt sich durch die oben genannte Bijektion in ein Wahrscheinlichkeitsmaß μ auf der Cantormenge übersetzen. (Eine alternative Beschreibung von μ ergibt sich als Hausdorffmaß zur Dimension ln 2 / ln 3.)
Dieses Wahrscheinlichkeitsmaß μ ist die Cantor-Verteilung, ein Beispiel für ein Maß, dessen Verteilungsfunktion zwar stetig, aber nicht absolut-stetig ist. Die Verteilungsfunktion
heißt Cantorfunktion (auch „cantorsche Treppenfunktion“). Dabei ist C die Cantormenge, die durch den im zugehörigen Artikel beschriebenen rekursiven „Drittelungs“-Prozess konstruiert werden kann. Auf jedem Intervall im Komplement der Cantormenge ist diese Funktion konstant; auf dem Intervall
hat sie zum Beispiel den Wert 1/2, und auf dem Intervall
hat sie den Wert 1/4.
2. Variante der Konstruktion
Bei dieser Konstruktion wird die Cantorfunktion
konstruiert, welche nach dem Korrespondenzsatz die Cantor-Verteilung μ eindeutig bestimmt.
Seidas System aller Teilmengen von [0,1], welche als Vereinigung von endlich vielen disjunkten abgeschlossenen nichtleeren Intervallen dargestellt werden kann. Ferner sei
gegeben durch (mit
)
(Dies entspricht der bereits angesprochen rekursiven Drittelung der Intervalle (Intervall-Länge: bi-ai), wobei nur das untere und das obere Drittel mitgenommen werden, während das mittlere Drittel „ausgewischt“ wird .)
Sei weiterhin mit
Schließlich sei die Cantormenge C definiert durch
Nun wird das Maß
folgendermaßen definiert:
,
wobei λ das eindimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet. μn ist offensichtlich ein Wahrscheinlichkeitsmaß, die dazugehörige Verteilungsfunktion sei
. Für Fn gilt:
Für Fn gilt insbesondere Fn(0) = 0 und Fn(1) = 1.
Da Fn | [0,1] gleichmäßig konvergent ist, ist die Cantorfunktion F durch
eindeutig definiert. Die dazugehörige Verteilung im Sinne der Maßtheorie ist die Cantor-Verteilung.
Eigenschaften
- Die Cantorverteilung ist singulär bezüglich des Lebesgue-Maßes.
- Die Cantorverteilung ist eine symmetrische Verteilung.
- Die Cantorverteilung besitzt keine Lebesgue-Dichte.
- Die Cantorfunktion ist stetig und monoton wachsend zwischen 0 und 1.
- Die Cantorfunktion ist fast überall differenzierbar mit Ableitung 0, aber dennoch nicht konstant.
In der Integrationstheorie ergeben also Ausdrücke der Form
einen Sinn, nicht dagegen Ausdrücke der Form
Dabei ist g(x) eine beliebige, im Intervall [0,1] Lebesgue-integrierbare Funktion.
Physikalische Realisierungen
Teufelstreppen treten näherungsweise in der Physik in Systemen mit konkurrierenden Längen (z. B. in Adsorbaten oder bei strukturellen Phasenübergängen, die durch das Modell von Frenkel und Kontorowa beschrieben werden) oder mit konkurrierenden Wechselwirkungen (z.B. Magneten oder Legierungen, die durch das ANNNI-Modell beschrieben werden) auf.
Diskrete univariate VerteilungenDiskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | kategorial | hypergeometrisch | Rademacher | Zipf | Zipf-MandelbrotDiskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | negativ binomial | erweitert negativ binomial | Compound-Poisson | diskret uniform | discrete-Phase-Type | Gauss-Kuzmin | geometrisch | logarithmisch | parabolisch-fraktal | Poisson | Poisson-Gamma | Skellam | Yule-Simon | Zeta
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