Taxicab-Zahl

In der Mathematik ist die n-te Taxicab-Zahl definiert als die kleinste (natürliche) Zahl, die sich auf n verschiedenen Arten als Summe zweier Kubikzahlen darstellen lässt. Godfrey Harold Hardy und E. M. Wright haben 1954 bewiesen, dass es für jede natürliche Zahl eine Taxicab-Zahl gibt.^[1] Der Beweis sagt jedoch nichts über das Auftreten dieser Zahlen aus, sodass sie nur mit großem (computerunterstütztem) Aufwand gefunden werden können.

Ihren Namen verdankt sie einer berühmten Anekdote von Hardy. Er besuchte Ramanujan am Krankenbett und erwähnte, dass er mit einem Taxi der Nummer 1729 gekommen sei, was Hardy für eine uninteressante Zahl hielt. Ramanujan fand dies nicht, indem er Hardy die oben erwähnten Eigenschaften darlegte.^[2]

Bekannte Taxicab-Zahlen

Derzeit sind erst die ersten sechs Taxicab-Zahlen bekannt (Folge A011541 in OEIS):

$\operatorname{Ta}(1) = 2 = 1^3 + 1^3$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(2)&=&1729&=&1^3 + 12^3 \\&&&=&9^3 + 10^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(3)&=&87539319&=&167^3 + 436^3 \\&&&=&228^3 + 423^3 \\&&&=&255^3 + 414^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(4)&=&6963472309248&=&2421^3 + 19083^3 \\&&&=&5436^3 + 18948^3 \\&&&=&10200^3 + 18072^3 \\&&&=&13322^3 + 16630^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(5)&=&48988659276962496&=&38787^3 + 365757^3 \\&&&=&107839^3 + 362753^3 \\&&&=&205292^3 + 342952^3 \\&&&=&221424^3 + 336588^3 \\&&&=&231518^3 + 331954^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(6)&=&24153319581254312065344&=&582162^3 + 28906206^3 \\&&&=&3064173^3 + 28894803^3 \\&&&=&8519281^3 + 28657487^3 \\&&&=&16218068^3 + 27093208^3 \\&&&=&17492496^3 + 26590452^3 \\&&&=&18289922^3 + 26224366^3\end{matrix}$

Entdeckungsgeschichte

Ta(2) = 1729 ist vermöge obiger Anekdote auch als Hardy-Ramanujan-Zahl bekannt; sie wurde schon 1657 von Bernard Frénicle de Bessy publiziert.^[3]

Ta(3) = 87539319 wurde 1957 von John Leech entdeckt.^[4]

Ta(4) wurde 1991 von dem Amateur-Zahlentheoretiker E. Rosenstiel gefunden^[5]

Ta(5) wird seit 1999 David W. Wilson verdankt.^[6]. Unabhängig davon fand sie auch wenige Monate später Daniel Bernstein.

Ta(6) wurde 2003 entdeckt.^[7] Zuvor hatte schon 1998 Daniel Bernstein eine obere Grenze angegeben.

Für weitere Taxicab-Zahlen sind auch obere Schranken bekannt.^[8]

Verallgemeinerte Taxicab-Zahl

Als verallgemeinerten Taxicab-Zahlen bezeichnet man eine Abwandlung der gewöhnlichen Taxicab-Zahlen. Die Definition lautet:

$\operatorname{Taxicab}(k,j,n)$ ist die kleinste natürliche Zahl, die auf n verschiedene Arten durch j Terme von k-ten Potenzen ausgedrückt werden kann.

Für k = 3 und j = 2 handelt es sich um die „gewöhnlichen“ Taxicab-Zahlen.

Leonhard Euler hat gezeigt, dass gilt

Taxicab(4,2,2) = 635318657 = 59⁴ + 158⁴ = 133⁴ + 134⁴.

Ein ungelöstes Probleme der Mathematik ist ein Existenztheorem für andere Werte als k = 3 und j = 2. Für diese Werte wurden auch mit Computerunterstützung keine Lösungen gefunden.^[9] Dieses Problem ist verwandt mit der Eulerschen Vermutung, einer Verallgemeinerung des Großen fermatschen Satzes.

Literatur und Weblinks

• Joseph Silverman: Taxicabs and Sums of Two Cubes. In: American Mathematical Monthly Bd. 100, 1993, ISSN 0002-9890, S. 331–340.
• Eric W. Weisstein: Taxicab Number. In: MathWorld. (englisch)
• Taxicab-Zahl, von Meyrignac im Euler-Netz
• Taxicab-Zahlen im Euler-Netz
• Ivars Peterson in seiner Kolumne zu Taxicab Zahlen

Einzelnachweise

1. ↑ Godfrey Harold Hardy, Edward Maitland Wright: An introduction to the theory of numbers. ³1954. (Theorem 412)
2. ↑ Hardy: Ramanujan, London 1940. Wörtlich schrieb Hardy:

   I remember once going to see him when he was lying ill at Putney. I had ridden in taxi cab number 1729 and remarked that the number seemed to me rather a dull one, and that I hoped it was not an unfavorable omen. „No“, he replied, „it is a very interesting number; it is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways.“ Quotations by G H Hardy

3. ↑ Bruce Berndt, S. Bhargava: Ramanujan - For Lowbrows, American Mathematical Monthly, Bd. 100, 1993, S. 645-656.
4. ↑ J. Leech: Some Solutions of Diophantine Equations. Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 1957, S 778-780,
5. ↑ E. Rosenstiel, J. A. Dardis, C. R. Rosenstiel: The Four Least Solutions in Distinct Positive Integers of the Diophantine Equation s = x³ + y³ = z³ + w³ = u³ + v³ = m³ + n³ Bull. Inst. Math. Appl. 27, 1991, S. 155-157.
6. ↑ D. W. Wilson: The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496. J. Integer Sequences 2, #99.1.9, 1999. http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/wilson10.html
7. ↑ C. S. Calude, E. Calude, M. J. Dinneen: What Is the Value of Taxicab(6)? J. Uni. Comp. Sci. 9, 2003, S. 1196-1203 http://www.cs.auckland.ac.nz/~cristian/taxicab.pdf
8. ↑ http://www.christianboyer.com/taxicab/
9. ↑ Richard K. Guy: Unsolved problems in number theory (third edition), S. 437, New York: Springer-Science und Business Media 2004, ISBN 0-387-20860-7