Eulersche Vermutung

Die eulersche Vermutung ist eine nach Leonhard Euler benannte Vermutung der Zahlentheorie und verallgemeinert die fermatsche Vermutung. Die eulersche Vermutung ist mittlerweile widerlegt.

Vermutung

Es gibt keine positiven ganzzahligen Lösungen $a_1, a_2, \dots, a_n \in \mathbb{N}$ der Gleichung $a_1^n + a_2^n + \cdots + a_{n-1}^n = a_n^n$ für $n \geq 3$. Euler bewies die Vermutung für n = 3 und konnte für größere n weder einen Beweis noch ein Gegenbeispiel finden.

Widerlegungen

• Für den Fall n = 5 fanden 1966 L. J. Lander und T. R. Parkin ^[1] ein Gegenbeispiel:

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵

• Für n = 4 fand 1988 Noam Elkies ^[2] folgendes Gegenbeispiel:

2682440⁴ + 15365639⁴ + 18796760⁴ = 20615673⁴

Elkies bewies zudem, dass es für n = 4 unendlich viele Lösungen gibt. Die kleinste mögliche Lösung lautet 95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴. Nach der Publikation der ersten Lösung durch Elkies wurde sie von Roger Frye gefunden.

Verwandte Fragestellung

Zusammen mit seiner Vermutung äußerte Euler zudem, dass es möglich sein sollte, die Summe vier bestimmter 4. Potenzen als 4. Potenz zu schreiben. Diese Vermutung wurde 1911 durch R. Norrie positiv beantwortet:

30⁴ + 120⁴ + 272⁴ + 315⁴ = 353⁴

Für diese allgemeine Form

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ = e⁴

wurde 2008 von Lee W. Jacobi und Daniel J. Madden gezeigt, dass sie unendlich viele Lösungen hat, bei denen alle Summanden ungleich null sind. Es wurde sogar eine besonders ästhetische Lösung der Form

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ = (a + b + c + d)⁴

gefunden.^[3] Die Summanden dieser speziellen Lösung haben im Dezimalsystem jeweils ca. 200 Ziffern.^[4]

Literatur

• Richard K. Guy: Unsolved problems in number theory. Springer, New York 1994, ISBN 0-387-94289-0

Einzelnachweise

1. ↑ L. J. Lander, T. R. Parkin: Counterexample to Eulers's conjecture on sums of like powers. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 72, 1966, p. 1079
2. ↑ Noam Elkies: On A^4+B^4+C^4=D^4. Math. Comput. vol. 51, 1988, p. 825–835
3. ↑ American Mathematical Monthly, März 2008
4. ↑ http://www.nzz.ch/nachrichten/wissenschaft/variationen_zu_einer_vermutung_eulers_1.732803.html