Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel

Die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel^[1] , benannt nach den drei Physikern Willy Thomas, Fritz Reiche und Werner Kuhn, ist ein mathematisches Hilfsmittel in der Quantenmechanik.

Sie besagt, dass für die Strahlungsübergänge (eines Teilchens mit der Masse m₀) zwischen einem bestimmten Zustand $|m\rangle$ und allen anderen Zuständen $|n\rangle$ folgende Beziehung gilt:

$\sum_n (E_m - E_n)\left|\left\langle n | \hat x | m \right\rangle\right|^2 = \frac{\hbar^2}{2m_0}\,$

Dabei ist $\hbar$ das reduzierte plancksche Wirkungsquantum, E_n die Energie des Zustands $|n\rangle$ und $\left\langle n | \hat x | m \right\rangle = x_{nm}$ ist das Matrixelement des Ortsoperators, das direkt mit dem elektrischen Dipolmoment des Überganges verknüpft ist.

Die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel gilt nur für ausschließlich ortsabhängige Potentiale und kann somit in den meisten Fällen angewandt werden.

Beweis

$\sum_n (E_m-E_n)\left|\left\langle n | \hat x | m \right\rangle\right|^2 = \sum_n (E_m-E_n) \left\langle m\right |\hat x\left | n\right\rangle\left\langle n \right| \hat{x}\left | m\right\rangle$

$=\frac{1}{2}\sum_n\left(\left\langle m\right | \hat{x}\hat{H}-\hat{H}\hat{x}\left |n\right\rangle\left\langle n \right | \hat{x}\left | m\right\rangle + \left\langle m \right | \hat{x}\left | n\right\rangle\left\langle n\right | \hat{H}\hat{x}-\hat{x}\hat{H}\left |m\right\rangle \right)$

$=\frac{1}{2}\sum_n \left(\left\langle m\right | \hat{x}\left |n \right\rangle\left\langle n\right | [\hat{H},\hat{x}]\left|m\right\rangle-\left\langle m \right | [\hat{H},\hat{x}]\left | n \right\rangle\left\langle n\right|\hat{x}\left| m \right\rangle \right )=\frac{1}{2}\left( \left\langle m\right | \hat{x}[\hat{H},\hat{x}]\left | m \right\rangle -\left\langle m\right | [\hat{H},\hat{x}]\hat{x}\left |m\right\rangle \right)$

$=\frac{1}{2} \left( \left\langle m \right | [\hat{x},[\hat{H},\hat{x}]] \left | m \right\rangle \right) = -\frac{i\hbar}{2m_0}\left\langle m\right| [\hat{x},\hat{p}]\left| m \right\rangle = \frac{\hbar^2}{2m_0}$

Dabei wurde verwendet, dass folgende Relationen gelten:

$[\hat{H},\hat{x}]=-\frac{i\hbar}{m_0}\hat{p}$

$[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar$

Literatur

1. ↑ Jeremiah A. Cronin, David F. Greenberg, Valentine L. Telegdi: University of Chicago Graduate Problems in Physics with Solutions. University Of Chicago Press 1979, ISBN 978-0226121093