Plancksches Wirkungsquantum

Gedenktafel – Humboldt-Universität zu Berlin

Das Plancksche Wirkungsquantum h ist das Verhältnis von Energie und Frequenz jedes physikalischen Systems.

Es verknüpft seit seiner Entdeckung durch Max Planck im Jahr 1899 Eigenschaften, die in der klassischen Physik entweder nur Teilchen oder nur Wellen zugeschrieben wurden und ist damit die Grundlage des Welle-Teilchen-Dualismus der modernen Physik. Die Energie eines von einem Körper abgestrahlten Quantums (E ) ist proportional (Faktor= h ) zu seiner Frequenz (f ): E = hf. Dies bedeutet, dass die abgegebenen Energiemengen (Quanten) nie kontinuierlich, sondern immer ein Vielfaches vom Planckschen Wirkungsquantum sind.

Das Wirkumsquant ist neben G und c eine der drei fundamentalen Naturkonstanten der Physik und Grundlage des primordialen natürlichen Einheitensystems, der Planck-Einheiten. ^[1]

Definition

Das plancksche Wirkungsquantum $\,h$ hat die Dimension von Energie mal Zeit, welche Wirkung genannt wird. Es erhält seine universelle Bedeutung durch sein Auftreten in den Grundgleichungen der Quantentheorie (Schrödinger-Gleichung, Heisenbergsche Bewegungsgleichung, Dirac-Gleichung).

• Jede harmonische Schwingung (mit Frequenz f, Kreisfrequenz ω = 2πf) kann Energie nur in diskreten Beträgen aufnehmen oder abgeben, die ganzzahlige Vielfache des Schwingungsquants $\Delta E = h f \equiv \hbar \omega$ sind.
• Jedes physikalischen System kann seinen Drehimpuls(*) J nur um ganzzahlige Vielfache von $\hbar \equiv \tfrac{h}{2\pi}$ ändern.

(*) Genauer: die Komponente des Drehimpulsvektors längs einer beliebigen Koordinatenachse

• Jedem physikalischen System mit Impuls p ist eine Materiewelle mit der Wellenlänge $\lambda = \tfrac{h}{p}$ zugeordnet.

Werte

Der Wert von h beträgt:^[2][3]

$\begin{align} h &= 6{,}626\,069\,57(29) \cdot 10^{-34}\,\rm{J\,s} \\ &= 4{,}135\,667\,516(91) \cdot 10^{-15}\,\rm{eVs} \end{align}$

wobei die eingeklammerten Zahlen die geschätzte Unsicherheit (1 Standardabweichung) für den Mittelwert angeben und sich auf die beiden letzten angegebenen Dezimalziffern beziehen.

Werte von h [4]	Standardabweichung	Einheiten
6,626 069 57 × 10 -34	0,000 000 29 x 10 -34	J·s
4,135 667 516 × 10 -15	0,000 000 091 × 10 -15	eV·s
6,626 069 57 × 10 -27	0,000 000 29 × 10 -27	erg·s
Werte von ħ
1,054 571 726 × 10 -34	0,000 000 047 × 10 -34	J·s
6,582 119 28 × 10 -16	0,000 000 15 × 10 -16	eV·s
1,054 571 726 × 10 -27	0,000 000 47 × 10 -27	erg·s

Häufig wird statt h auch das reduzierte plancksche Wirkungsquantum $\hbar$ (sprich „h quer”) verwendet:^[5][6]

$\begin{align} \hbar &= \frac{h}{2\pi}\\ &= 1{,}054\,571\,726(47) \cdot 10^{-34}\,\rm{J\,s}\\ &= 6{,}582\,119\,28(15) \cdot 10^{-16}\,\rm{eVs} \end{align}$

wobei π die Kreiszahl (pi) ist. $\hbar$ wurde in der Vergangenheit gelegentlich auch nach Paul Dirac als „diracsche Konstante“ bezeichnet^[7].

Oft wird das Produkt $\hbar c$ mit der Lichtgeschwindigkeit c benötigt, das die Dimension Energie mal Länge hat und damit einen universellen Zusammenhang zwischen Energieinhalt und Längenskala begründet. In den in der Kernphysik üblichen Einheiten (zur besseren Handhabung) ist sein Wert:^[8]

$\hbar c = 197{,}326\,9718(44) \,\,\rm{MeVfm}$ .

In Unicode liegen die Symbole für das plancksche Wirkungsquantum und das reduzierte plancksche Wirkungsquantum auf Position U+210E (ℎ) bzw. U+210F (ℏ).

Lichtquanten

Max Planck führte die Konstante h (von Hilfsgröße) im Jahr 1900 zunächst nur als Hilfsmittel zur Lösung des Problems der Strahlungsverteilung schwarzer Körper (auch bezeichnet als Schwarzkörper- oder Hohlraumstrahlung) ein.^[9] Nach der klassischen Ableitung (dazu Rayleigh-Jeans-Gesetz) hätte die Intensität mit steigender Frequenz immer größer werden müssen (was der Realität widerspricht und als Ultraviolettkatastrophe bezeichnet wird). Das empirisch gefundene Strahlungsgesetz von Wilhelm Wien (dazu Wiensches Strahlungsgesetz) hingegen gibt die Energiedichte nur im kurzwelligen Bereich hinreichend genau wieder.

Planck fand seine Strahlungsformel durch Betrachtungen zur Entropie. Er konnte seine Formel mit der Annahme erklären, dass Strahlung der Frequenz $\!\ f$ nur in Energiepaketen der Größe $\!\ E = h f$ emittiert und absorbiert werden kann. Das Wirkungsquantum ist hier eine Proportionalitätskonstante, deren Größe sich aus der Anpassung an die experimentell ermittelten Werte der Hohlraumstrahlung ergibt.

Planck hielt den nicht-kontinuierlichen Charakter der Energie zunächst für eine Folge der Eigenschaft der Strahlungsquelle. Erst Albert Einstein postulierte 1905 zur Erklärung des photoelektrischen Effektes die Lichtquantenhypothese, derzufolge auch das Licht Quanteneigenschaften aufweist. Demnach besteht elektromagnetische Strahlung mit einer Frequenz $\!\ f$ aus teilchenartigen Objekten, wobei jedes dieser Energiequanten eine Energie $\!\ E = h f$ besitzt^[10].

Materiewellen

Im Jahr 1924 schrieb Louis de Broglie auch Teilchen wie Elektronen Welleneigenschaften zu. Er verknüpfte den Impuls $\vec p$ mit der Wellenlänge λ zu p = h / λ, beziehungsweise vektoriell als

$\vec p = \hbar\,\vec k$

mit dem Wellenzahlvektor $\vec k$ vom Betrag $|\vec k|=2\pi/\lambda$. Die Richtung von $\vec k$ ist die Bewegungsrichtung des Teilchens.

Für die Energie E und die Kreisfrequenz ω = 2πf gilt ebenso wie bei Photonen

$E=\hbar\,\omega.$

Drehimpuls

Plancks Motivation für die Bezeichnung „Wirkungsquantum“ war zunächst alleine die physikalische Dimension Energie mal Zeit der Konstante. Der klassische mechanische Bahndrehimpuls $\vec l = \vec r \times \vec p$ hat die gleiche Dimension. In dem 1913 von Niels Bohr aufgestellten Atommodell des Wasserstoffatoms trat der Bahndrehimpuls des Elektrons als gequantelte Größe in Erscheinung. Er kann dem Betrag nach nur ganzzahlige Vielfache von $\hbar$ annehmen: $|\vec l| = l \hbar$ mit der Drehimpulsquantenzahl $\,l$. Im bohrschen Modell kann sie für die Bahnen zur Hauptquantenzahl $\,n$ alle Werte $\,l=\,1,\;2,\,...,n$ haben.

In der Quantenmechanik erfüllt der zu $\vec l = \vec r \times \vec p$ gehörende Operator des Bahndrehimpulsesdie drei Vertauschungsrelationen

$[l_x,l_y]= i \hbar l_z\qquad$ (auch für x,y,z, zyklisch vertauscht)

Außerdem gilt (wie in der klassischen Mechanik) für das Skalarprodukt $(\vec l \cdot \vec p)=0$. Daraus ergibt sich allgemein:

• Die Quantenzahl des Bahndrehimpulses ist eine nicht-negative ganze Zahl: $\,l=0,\,1,\;2,\,...$. Der Betrag des Drehimpulses $\vec{l}$ ist ein wenig größer als $l \hbar$:

$|\vec{l}| = \sqrt{l(l+1)}\; \hbar.$

• Die Komponente des Drehimpulses entlang einer beliebigen Achse kann jedes ganzzahliges Vielfache $m \hbar$ des planckschen Wirkungsquantums annehmen, wobei diese magnetische Quantenzahl $\,m$ dem Betrag nach durch $\,l$ beschränkt ist. Es gibt daher $\,(2l+1)$ verschiedenen Werte $\, m=-l,-l+1, \ldots, l$, eine stets ungerade Anzahl.

Nach quantenmechanischer Berechnung kann im Wasserstoffatom zu der Hauptquantenzahl $\,n$ die Bahndrehimpulsquantenzahl $\,l$ die ganzzahligen Werte $\,l=\,0,\;1,\,...,(n-1)$ annehmen.

Auch der Spin (Eigendrehimpuls eines Teilchens um seinem eigenen Schwerpunkt, oft mit $\vec s$ bezeichnet) ist in Einheiten $\hbar$ gequantelt. Der zugehörige Operator erfüllt dieselben Vertauschungsrelationen wie $\vec l$, aber $(\vec s \cdot \vec p)=0$ gilt nicht. Es folgt, dass die Spinquantenzahl $\, s$ auch halbzahlig sein kann. Für die magnetische Quantenzahl $\,m_s$ sind wieder die Werte $\,m_s=-s,-(s-1), \ldots, +s$ möglich, bei halbzahligem Spin also eine gerade Anzahl. Je nachdem, ob der Spin ganz- oder halbzahlig ist, untzerscheidet man in der Physik die beiden grundlegenden Teilchenarten der Bosonen bzw. Fermionen.

Unschärferelation

In der heisenbergschen Vertauschungsrelation tritt das (reduzierte) plancksche Wirkungsquantum als Wert des Kommutators zwischen Orts- und Impulsoperator auf:

$\left[ X,P \right] \;=\; \mathrm{i} \hbar\,.$

Als Folge gilt für das Produkt aus Orts- und Impulsunschärfe die heisenbergsche Unschärferelation

$\Delta x \, \Delta p \; \ge \; \frac{\hbar}{2}\;.$

Von-Klitzing-Konstante

→ Hauptartikel: Von-Klitzing-Konstante

Die Von-Klitzing-Konstante ist die Größe h/e², die beim Quanten-Hall-Effekt auftritt. Sie hat die von elektrischen Widerständen bekannte Einheit Ohm, ihr Wert ist R_K = 25812,8074434(84)Ω.^[11] Diese Konstante kann extrem genau gemessen werden. Sie könnte analog zur modernen Festlegung der Lichtgeschwindigkeit dazu dienen, die Bestimmung der planckschen Konstanten h auf sehr genaue Widerstandsmessungen zurückzuführen.

Literatur

• Domenico Giulini: „Es lebe die Unverfrorenheit!“ – Albert Einstein und die Begründung der Quantentheorie. online. In: Herbert Hunziker, Der jugendliche Einstein und Aarau, Birkhäuser 2005, ISBN 3-7643-7444-6.
• Enrico G. Beltrametti: One Hundred Years of h. Italian Physical Soc., Bologna 2002, ISBN 88-7438-003-8.

Weblinks

 Wiktionary: Wirkungsquantum – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• CODATA Internationally recommended values of the Fundamental Physical Constants beim NIST
• Wie Max Planck auf die Idee der Quantentheorie kam – von Armin Hermann
• Was ist das Wirkungsquantum?- von Jörg Resag
• Dioden-Versuch Einfaches Experiment zur Bestimmung des planckschen Wirkungsquantums auf Schülerniveau
• Dioden-Beleuchtungsversuch.

Einzelnachweise

1. ↑ Max Planck (beachte: a= Boltzmannkonstante (Temp.), b= Wirkumsquantum, f= Gravitationskonstante, c= Lichtgeschwindigkeit 300000km/h !!!): "Über irreversible Strahlungsvorgänge"- Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin/ 1899 - Erster Halbband (Berlin: Verl. d. Kgl. Akad. d. Wiss.) Seite 497-480 [1]
2. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 15. Juni 2011.  Wert für h in der Einheit Js
3. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 15. Juni 2011.  Wert für h in der Einheit eVs
4. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 30. Juni 2011. 
5. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juni 2011.  Wert für $\hbar$ in der Einheit Js
6. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juni 2011.  Wert für $\hbar$ in der Einheit eVs
7. ↑ Die Ein-Zeichen-Notation für das reduzierte plancksche Wirkungsquantum wurde im Jahr 1926 von P. A. M. Dirac eingeführt. Ein kurzer Abschnitt zur Historie findet sich z.B. in M. Jammer, „The Conceptual Development of Quantum Mechanics“, McGraw-Hill, New York (1966), S. 294. Diracs Originalarbeit: P. A. M. Dirac, „Quantum mechanics and a preliminary investigation of the hydrogen atom“, Proc. Roy. Soc. A, 110 (1926), 561–579.
8. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juni 2011.  Wert für $\hbar c$
9. ↑ M. Planck: Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum. Verhandlungen der Deutschen physikalischen Gesellschaft 2(1900) Nr. 17, S. 237–245, Berlin (vorgetragen am 14. Dezember 1900)
10. ↑ Albert Einstein: Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt, Annalen der Physik, 17 (1905), S. 133 und S. 143. (Online-Dokument:[2]).
11. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juni 2011.  Wert für R_K