Verkettete Pfeilschreibweise

Die von John Horton Conway erdachte verkettete Pfeilschreibweise in der Mathematik ist ähnlich wie die von Donald Ervin Knuth entwickelte Pfeilschreibweise eine Notationsart, um äußerst große natürliche Zahlen möglichst kurz darzustellen.

Notation

Bei der verketteten Pfeilschreibweise werden beliebig viele natürliche Zahlen hintereinander geschrieben und mit Pfeilen verknüpft. Zu beachten ist, dass dabei keine Assoziativität herrscht, d.h. $2 \rightarrow (3 \rightarrow 4) \not= (2 \rightarrow 3) \rightarrow 4 \not= 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4$
In der Kette $3 \rightarrow 6 \rightarrow (5 \rightarrow 4)$ gibt es 3 Glieder: 3, 6 und $(5 \rightarrow 4)$, wobei Letzteres eine eigenständige Kette ist.

Bezeichnungen

Zu unterscheiden ist, dass verkettete Pfeilschreibweise Ausdrücke wie $3 \rightarrow 2 \rightarrow 2$ meint, Pfeilschreibweise meint dagegen Knuths Pfeilschreibweise, beispielsweise $5\uparrow\uparrow4$.
Unter dem Begriff Kette werden mehrere miteinander verkettete Glieder verstanden. Ein Glied kann dabei eine weitere Kette oder eine natürliche Zahl sein.
Teilketten bezeichnen hier eine Anzahl miteinander verketteter Glieder der gesamten Kette. Dabei wird nur die Reihenfolge beibehalten, die Stellung der Glieder in der Kette spielt keine Rolle. Ist $3 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 2$ die betrachtete Kette, ist $2 \rightarrow 4$ eine mögliche Teilkette. (Auch wenn meist eher $3 \rightarrow 2$ betrachtet wird)
Der Begriff Teilkette wird also zur Verkürzung gebraucht, um eine beliebige Anzahl von Gliedern zusammenzufassen. Hierbei sollte beachtet werden, dass die Teilkette bei ihrer Verwendung nicht separat berechnet wird, sondern lediglich eine Kurzform darstellt.

Definition

$n, m \in \mathbb{N}$, A ist Teilkette, d.h. $A \rightarrow n$ kann beispielsweise $2 \rightarrow 5 \rightarrow 2 \rightarrow n$ entsprechen.

• n = n (Das n der linken Seite ist als eingliedrige Kette zu verstehen)
• $n \rightarrow m = n^m$
• $A \rightarrow 1 = A$
• $A \rightarrow n \rightarrow m = A \rightarrow (A \rightarrow ... ( A \rightarrow (A) \rightarrow (m-1)) \rightarrow (m-1) \rightarrow ... ) \rightarrow (m-1)$
  

Dabei wird die Teilkette A insgesamt n-mal notiert, (m-1) n-1-mal. Diese Rechnung kann verwendet werden, um das letzte Glied zu verringern, bis es 1 erreicht und entfernt werden kann. Da dies jedoch meist höchst umständlich ist, kann folgende Variante verwendet werden:

• $A \rightarrow n \rightarrow m = A \rightarrow (A \rightarrow (n-1) \rightarrow m) \rightarrow (m-1)$

Hinweise zur Berechnung

n, m, A wie in der Definition, sei nun auch B eine Teilkette, k eine natürliche Zahl.

• $A \rightarrow 1 \rightarrow B = A$ D.h. alle Kettenglieder hinter einer 1 entfallen.

Daraus ergibt sich:

• $1 \rightarrow A = 1$
• $n \rightarrow m \rightarrow k = n \uparrow^k m$ mit Knuths Pfeilschreibweise
• $2 \rightarrow 2 \rightarrow A = 4$ D.h. jede Kette, deren ersten zwei Glieder 2 sind, entspricht 4. Leicht nachzuvollziehen, da auch $2+2 = 2 \times 2 = 2^2 = 2\uparrow^n2 = 4$
• $A \rightarrow 2 \rightarrow 2 = A \rightarrow (A)$ D.h. endet eine Kette in zwei Zweien, können diese beiden letzten Glieder durch der Wert der vorigen Kette ersetzt werden. Zu beachten: nicht $A \rightarrow A$
  

Die Berechnung einer Kette läuft meist darauf hinaus, bei einem Glied eine 1 zu erzeugen oder eine Kette bzw. Teilkette auf zwei Zweien enden zu lassen. Damit wird die Kette vereinfacht, bis es nur noch eingeklammerte Teilketten mit drei (oder weniger) Gliedern gibt, die dann auf Potenzierung oder die Pfeilschreibweise zurückzuführen sind.

Rechenbeispiele

Zunächst ein leichtes Beispiel:
$2 \rightarrow 3 \rightarrow 2 = 2 \uparrow\uparrow 3 = 2^{2^2} = 2^4 = 16$
Oder:
$2 \rightarrow 3 \rightarrow 2 = 2 \rightarrow (2 \rightarrow 2 \rightarrow 2) \rightarrow 1 = 2 \rightarrow (2 \rightarrow 2 \rightarrow 2) \rightarrow 1 = 2 \rightarrow (4) = 2^4 = 16$
Ein weiteres dreigliedriges Beispiel:
$5 \rightarrow 3 \rightarrow 2 = 5 \rightarrow (5 \rightarrow 2 \rightarrow 2) \rightarrow 1 = 5 \rightarrow (5 \rightarrow (5)) = 5 \rightarrow (5^5) = 5^{5^5} = 5^{3125} \approx 1,91101259794547752 \times 10^{2184}$
Jedoch lässt sich auch dieses Beispiel leicht mit Knuths Pfeilschreibweise abkürzen: $5 \rightarrow 3 \rightarrow 2 = 5\uparrow\uparrow3 = 5^{5^5}$
Daher nun ein viergliedriges Beispiel:
$3 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 2 = 3 \rightarrow 2 \rightarrow (3 \rightarrow 2 \rightarrow 2 \rightarrow 2) \rightarrow 1 = 3 \rightarrow 2 \rightarrow (3 \rightarrow 2 \rightarrow (3 \rightarrow 2))$
$= 3 \rightarrow 2 \rightarrow (3 \rightarrow 2 \rightarrow 9) = 3 \rightarrow 2 \rightarrow (3\uparrow^{9}2)$
$= 3 \uparrow^{3\uparrow^{9}2} 2$
Der Versuch, diese Zahl auch nur mit Zehnerpotenzen oder auch mit Potenztürmen darzustellen, wäre sichtbar ungeeignet.
Diese Rechnung macht jedoch sehr gut deutlich, dass die verkettete Pfeilschreibweise wohl am kürzesten enorm große Zahlen darstellen kann.
Das wird nun schon bei bloßer Betrachtung von $43 \rightarrow 91 \rightarrow 74 \rightarrow 84 \rightarrow 101$ deutlich.

Siehe auch

• Pfeilschreibweise
• Steinhaus-Moser-Notation
• Ackermannfunktion
• Grahams Zahl