Church-Numeral

Unter Church-Kodierung versteht man die Einbettung von Daten und Operatoren in das Lambda-Kalkül. Die bekannteste Form sind die Church-Numerale, welche die natürlichen Zahlen repräsentieren. Benannt sind sie nach Alonzo Church, der Daten als Erster auf diese Weise modellierte.

Church-Numerale

Definition

Die Grundidee zur Kodierung beruht auf den Peano-Axiomen, wonach die natürlichen Zahlen durch einen Startwert - die 0 - und einer Nachfolger-Funktion definiert sind. Demnach sind die Church-Numerale wie folgt definiert:

0 ≡ λf.λx. x

1 ≡ λf.λx. f x

2 ≡ λf.λx. f (f x)

3 ≡ λf.λx. f (f (f x))

...

n ≡ λf.λx. fn x

Rechnen mit Church-Numeralen

Im Lambda-Kalkül sind numerische Funktionen durch korrespondierende Funktionen über Church-Numerale darstellbar. Diese Funktionen können in funktionalen Programmiersprachen direkt durch übertragen der Lambda-Ausdrücke implementiert werden.

Die Nachfolger-Funktion wird wie folgt definiert:

succ ≡ λn.λf.λx.n f (f x)

Die Addition zweier Zahlen n und m ist die m-malige Anwendung der Nachfolger-Funktion auf n:

plus ≡ λm.λn.λf.λx. m f (n f x)

Die Multiplikation zweier Zahlen n und m ist die m-malige Anwendung der Addition (+n) auf n:

mult ≡ λm.λn.λf. n (m f)

Die Vorgänger-Funktion:

pred ≡ λn.λf.λx. n (λg.λh. h (g f)) (λu. x) (λu. u)

Boolesche Ausdrücke

Analog zu den natürlichen Zahlen lassen sich auch (zweiwertige) Wahrheitswerte im Lambda-Kalkül modellieren.

true ≡ λx.λy. x

false ≡ λx.λy. y

Daraus lässt sich auch eine einfache Kontrollstruktur (IF THEN ELSE) ableiten:

ifthenelse ≡ λb.λx.λy.b x y

Dabei ist die Variable b als Bedingung zu verstehen, x als "THEN" und y als "ELSE".