Clausius-Clapeyronsche Gleichung

Die Clausius-Clapeyron-Gleichung wurde 1834 von Benoit Clapeyron entwickelt und später von Rudolf Clausius aus den Theorien der Thermodynamik abgeleitet. Sie ist eine Spezialform der Clapeyron-Gleichung.

Über sie lässt sich der Verlauf der Phasengrenzlinie eines Phasendiagramms zwischen der flüssigen und der gasförmigen Phase eines Stoffes, der Siedepunktskurve, errechnen. Die thermodynamisch korrekte Version der Gleichung ist

$\frac{\mathrm dp}{\mathrm dT} = \frac{\Delta H_v}{\Delta V_v \cdot T}$

Allerdings bezeichnet man im Regelfall die näherungsweise gültige Gleichung:

$\frac{1}{p}dp = \frac{\Delta H_v}{RT^2}dT$

als Clausius-Clapeyron-Gleichung. Hier wurde in guter Näherung $\Delta V_v \approx V_{m(g)}$ gesetzt, da das Molvolumen eines Gases viel größer als das einer Flüssigkeit ist, und es wurde ein ideales Gas angenommen, für das gilt:

$V_{m(g)} = \frac{RT}{p}$

Anwendung auf ideale Gase

Betrachtet man über einen kleinen Temperaturbereich die Verdampfungsenthalpie eines Stoffes als konstant, so hängen der Dampfdruck p und die Temperatur T wie folgt zusammen:

$\ln p = - \frac{\Delta H_v}{RT} + C$

Um nun den Sättigungsdampfdruck p₁ einer Flüssigkeit bei einer Temperatur T₁ mit dem Sättigungsdampfdruck p₂ der gleichen Flüssigkeit bei einer Temperatur T₂ zu vergleichen, verwendet man die Clausius-Clapeyron-Gleichung in folgender Form:

$\ln {p_2} - \ln {p_1} = \ln \frac{p_2}{p_1} = \frac {\Delta H_v } {R } \cdot \frac{ T_2 - T_1 } { T_1 \cdot T_2 }$

mit

• T₁ = Temperatur (in Kelvin) und P₁ = Dampfdruck des Ausgangszustands
• T₂ und P₂ Druck und Temperatur des zu vergleichenden Zustands
• ΔH_v ist die molare Verdampfungswärme
• R ist die Universelle Gaskonstante (8.314 J mol^-1K^-1)

Literatur

• M.K. Yau & R.R. Rogers, Short Course in Cloud Physics, Third Edition, publiziert von Butterworth-Heinemann, Jan. 1989, 304 Seiten. ISBN 0750632151