Dimensionsbetrachtung

Die Dimensionsbetrachtung, Dimensionsprobe, oder Einheitenbetrachtung ist eine Methode, die Verknüpfungen von physikalischen Größen prüft. Beispielsweise kann eine Gleichung nur dann einen physikalischen Zusammenhang wiedergeben, wenn die Dimension der Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung gleich ist. Die dimensionsmäßige Korrektheit ist eine Vorbedingung für physikalische Korrektheit. Sie beweist nicht, dass die Gleichung inhaltlich und hinsichtlich der Zahlenwerte zutrifft.

Die Dimensionsbetrachtung kann auch dazu dienen, die unbekannte Dimension eines Terms in der Gleichung zu finden.

Regeln

Eine physikalische Größe ist das Produkt aus einem Zahlenwert und einer Maßeinheit. Zusammen mit den Grundregeln der Arithmetik folgt daraus, dass eine Gleichung nur dann einen physikalischen Zusammenhang ausdrücken kann, wenn beide Seiten der Gleichung von gleicher Dimension sind und in jeder auftretenden Summe oder Differenz alle Terme von gleicher Dimension sind. Dimensionsverschiedene Größen können nur durch Punktrechnung (Multiplikation, Division) miteinander verknüpft sein.

Transzendente Funktionen wie log(x), exp(x) oder sin(x) haben nur dann definierte Werte, wenn ihr Argument x dimensionslos ist.

Die Dimension eines Ausdrucks lässt sich feststellen, indem man die auftretenden Maßeinheiten durch Basiseinheiten ausdrückt.

Beispiele

Ermitteln der unbekannten Dimension eines Proportionalitätsfaktors

Als Beispiel soll die Gleichung für die Massenanziehungskraft der Massen m und M dienen, die sich im Abstand r befinden. In vereinfachter Form (nicht vektoriell) lautet sie

$F(r) = -\frac{G M m}{r^2}$

Gesucht sei die Dimension der Gravitationskonstanten G. Auflösen der Gleichung nach G ergibt

$G = - F \cdot \frac{r^2}{M m}$

Wenn man von allen Größen der rechten Seite die Dimension kennt, ergibt sich die der linken Seite:

$\lbrack G \rbrack = \lbrack F \rbrack \cdot \left\lbrack \frac{r^2}{M m} \right\rbrack = \frac{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot \frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{kg}^2} = \frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^2}$

Auch der entgegengesetzte Weg ist möglich: Man erkennt einen Unterschied zwischen der Dimension der linken und rechten Gleichungsseite, bestimmt die Dimension des offensichtlich fehlenden Faktors und kann dann manchmal schon daraus vermuten, welche Größe noch fehlt.

Buckinghamsches Π-Theorem

→ Hauptartikel: Buckinghamsches Π-Theorem

Unter der Annahme, dass ein Proportionalitätsfaktor dimensionslos ist, lässt sich mit Hilfe des Buckinghamsches Π-Theorems herleiten, wie eine Formel auszusehen hat. Ist zum Beispiel bekannt, dass die Masse nur von der Dichte und vom Radius der Kugel abhängt, dann lässt sich die genaue Formel wie folgt ermitteln:

$\Pi = m\cdot r^{x_1}\cdot\rho^{x_2},$

wobei Π eine dimensionslose Konstante ist, m die Masse der Kugel, r der Radius und ρ die Dichte. Damit Π dimensionslos ist, muss gelten:

$1 = M\cdot L^{x_1}\cdot(M/L^3)^{x_2}$

(Dimensionengleichung, M für Masse, L für Länge)

Daraus folgt dann:

• 1 + x₂ = 0
• x₁ − 3 * x₂ = 0

Die Lösung dieser beiden Gleichungen ergibt: x₁ = − 3 und x₂ = − 1. Das bedeutet: $\Pi=m\cdot r^{3}\cdot\rho^{-1}$ und nach m aufgelöst:

$m =\mathrm{const.}\cdot r^3\cdot\rho$

Der genaue Wert der Konstante ($4/3\cdot\pi$) lässt sich nicht mit dem Buckinghamschen Π-Theorem ermitteln. Der ungefähre Wert kann jedoch empirisch durch das Wiegen einer beliebigen Kugel mit bekannter Dichte und Radius ermittelt werden.

Argument einer transzendenten Funktion

Bei der Entladung eines Kondensators über einen Widerstand verläuft die Spannung U als abklingende Exponentialfunktion, die Zeit t steht im negativen Exponenten:

$U = U_o \cdot e^{-a t}$

Die Dimension des Faktors a muss demnach die einer inversen Zeit sein, damit das Produkt a·t dimensionslos wird. Da neben dem Kondensator mit seiner Kapazität C auch noch der Widerstand R beteiligt ist, kann man bereits vermuten, dass der Proportionalitätsfaktor a mathematisch aus diesen Größen gebildet wird. Das Produkt der Dimensionen von Kapazität und Widerstand ergibt eine Zeit. Daher liegt es nahe, dass a sich wie folgt auf die gegebenen Größen zurückführen lässt:

$U = U_o \cdot e^{- \frac{t}{R C}}$

Literatur

• Hans Dieter Baehr: Physikalische Größen und ihre Einheiten – Eine Einführung für Studenten, Naturwissenschaftler und Ingenieure. Band 19 der Reihe Studienbücher Naturwissenschaft und Technik, Bertelsmann Universitätsverlag, Düsseldorf 1974. ISBN 3-571-19233-8
• Hans Rupp: Physikalische Größen, Formeln, Gesetze und Definitionen. 2. Auflage, Oldenbourg Schulbuchverlag, Juni 1995. ISBN 3-486-87093-9
• Paul A. Tipler: Physik. 3. korrigierter Nachdruck der 1. Auflage 1994, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin, 2000, ISBN 3-86025-122-8