Dreileiterschaltung

Widerstandsthermometer sind elektrische Bauelemente, welche die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes von Leitern zur Messung der Temperatur ausnutzen.

Reine Metalle zeigen stärkere Widerstandsänderungen als Legierungen und haben einen relativ konstanten Temperaturkoeffizienten des elektrischen Widerstandes. Für präzise Messungen verwendet man Edelmetalle, meist Platin, da diese besonders wenig Alterung zeigen, und da die Thermometer daraus mit geringen Fehlergrenzen zu fertigen sind. Der Widerstand kann auch aus Keramik (gesinterte Metalloxide) oder Halbleitern bestehen, womit sich sehr viel höhere Temperaturkoeffizienten als mit Metallen und damit auch viel höhere Empfindlichkeiten erzielen lassen, aber mit geringerer Präzision und erheblicher Temperaturabhängigkeit des Temperaturkoeffizienten selber. Man bezeichnet diese Widerstände als Thermistoren, wobei Heißleiter (NTC-Widerstände) in der Messtechnik eher verwendet werden als Kaltleiter (PTC-Widerstände).

Herkömmliche Thermometer messen die Temperatur anhand der Längen- oder Volumenänderung eines Stoffes und sind nur als anzeigende Messgeräte geeignet. Der Vorteil der Widerstandsthermometer liegt darin, dass sie ein elektrisches Signal liefern und sich zum Einsatz in der industriellen Messtechnik eignen, wo sie insbesondere als Platin-Widerstandsthermometer weit verbreitet sind.

Kenngrößen und Fehlergrenzen

Innerhalb kleiner Temperaturbereiche kann oft die Formel

$R_t = R_{20} \cdot (1 + \alpha_{20} \cdot (t - 20\;^{\circ}\mathrm{C}))$

angewendet werden. Sind der zur Temperatur t gehörende Widerstand R_t = R(t) , der zu 20 °C gehörende Widerstand R₂₀ und der auf 20 °C bezogene Temperaturkoeffizient α₂₀ (Materialkonstante) bekannt, so kann die Temperatur folgendermaßen berechnet werden:

$t = 20\;^{\circ}\mathrm{C} + (R_t / R_{20} - 1)/\alpha_{20}$

Voraussetzung für eine so einfache Berechnung ist ein eingeengter Messbereich oder ein konstanter Temperaturkoeffizient. Letzteres ist bei Metallen und Silizium nur annähernd der Fall; bei Thermistoren aus Bariumtitanat ist diese Näherung nicht gegeben.

Platin

Für die in der industriellen Messtechnik weit verbreiteten Platin-Messwiderstände gibt es die DIN EN 60751, in der für die Funktion R_t = R(t) hinter dem linearen Glied weitere Summanden angegeben werden

• für den Bereich t = 0 ... 850 °C $R_t=R(t)=R_0\;(1+At+Bt^2)$,
• für den Bereich t = -200 ... 0 °C $R_t=R(t)=R_0\; (1+At+Bt^2+C(t-100\,^{\circ}\mathrm{C})t^3)$

mit A = 3,9083·10^-3 °C^-1 ; B = - 5,775·10^-7 °C^-2 ; C = - 4,183·10^-12 °C^-4 .

Als Nennwert wird R₀ = R(0) angegeben, also der Widerstand bei 0 °C; bevorzugt werden die Nennwerte 100 Ω und 1000 Ω; dann heißen diese Sensoren Pt100 bzw. Pt1000. Die Spanne der Möglichkeiten reicht etwa von Pt10 bis Pt10000. Die in der Tabelle unten enthaltenen Werte sind mit diesen Gleichungen berechnet.

Normalerweise wird R_t gemessen und die Temperatur t gesucht. Die Auflösung ("Umkehrung") dieser Formeln nebst der dazugehörigen Linearisierung ist nicht einfach und wird im Artikel Linearisierung von resistiven Sensoren beschrieben.

Thermometer Pt100 müssen in ihren Fehlergrenzen klassifiziert werden.
- Klasse A: Fehlergrenze = 0,15 °C + 0,002 |t| (zulässig bis 650 °C),
- Klasse B: Fehlergrenze = 0,3 °C + 0,005 |t| (das entspricht 0,12 Ω bei 0 °C).

Beispiel zur bevorzugten Klasse B: Bei 500 °C sind Abweichungen des Messwertes zulässig bis ± 2,8 °C.

Der Temperaturkoeffizient des Widerstands wird in der Norm etwas anders als häufig (und auch oben) festgelegt als $\alpha_0 =\frac{\Delta R/R_0}{\Delta t}$ , also zur Bezugstemperatur 0 °C statt 20 °C. Der charakterisierende Wert wird aus dem mittleren Temperaturkoeffizienten über die Spanne 0 ... 100 °C berechnet zu α₀ = 3,85 · 10^-3 °C^-1.

Nickel

Nickel besitzt im Vergleich zu Platin eine höhere Empfindlichkeit, es liefert bei gleicher Temperaturänderung eine größere relative Widerstandsänderung. Allerdings ist dieses Material aus der Normung herausgenommen worden. Für Ni100 galt im Bereich von -60 °C bis +180 °C die Gleichung:

R_t = R(t) = R₀ + At + Bt² + Ct⁴

mit t = Temperatur in °C; Ro = Widerstandsgrundwert bei 0°C; A = 0,5485 Ω /°C; B = 0,665·10^-3 Ω °C^-2; C = 2,805·10^-9 Ω °C^-4 .
Gängige Werte für Ro: 100 Ohm; 500 Ohm; 1000 Ohm

Die DIN 43760 unterscheidet zwei Toleranzbereiche (entsprechend Temperaturbereich):
• -60°C bis 0°C -> tabw = +/- (0,4 + 0,028 * t)
• 0°C bis 250°C -> tabw = +/- (0,4 + 0,007 * t)
wobei (t) die Ausgangstemperatur und tabw die Abweichung ist.

Nickel besitzt im Vergleich zu Platin eine höhere Empfindlichkeit, es liefert bei gleicher Temperaturänderung eine größere relative Widerstandsänderung.
Nachteilig zum Platin-Messwiderstand ist der geringere Temperaturbereich (-60°C ... +250°C) und die größerer Toleranz, speziell im Bereich unterhalb von 0°C.

Heißleiter

Heißleiter weisen einen stark nichtlinearen Zusammenhang zwischen Widerstand und Temperatur auf. Zur mathematischen Beschreibung des Verhaltens eignet sich eine Funktion der absoluten Temperatur T in der Form

$R_T =R(T) =A\cdot e^{\frac {B}{T}} =R_{T_0}\cdot e^{B\left( \frac{1}{T} -\frac{1}{T_0} \right)}$

Dabei ist T₀ eine beliebige Bezugstemperatur, z. B. 293 K (20 °C). Die Größe B ist eine Material-Konstante; Richtwert B = 2000 ... 6000 K.

Die relativen Fehlergrenzen von $R_{T_0}$ liegen typisch bei 20 %, von B bei 5 %.

Der Temperaturkoeffizient wird hierzu wieder etwas anders definiert und ergibt sich im Grenzfall differenziell kleiner Temperaturänderungen zu

$\alpha_T =\frac{1}{R_T}\,\frac{\Delta R}{\Delta T} \Rightarrow -\frac{B}{T^2}$

Er verdeutlicht einen mit steigender Temperatur stark abfallenden, aber bei Zimmertemperatur hohen Messeffekt.

Beispiel: B = 3600 K; T = 300 K; α_T = - 40 · 10^-3 K^-1. Das ist gegenüber α₀ bei Platin dem Betrage nach rund das Zehnfache.

Durch Zusammenschaltung mit ohmschen Widerständen lassen sich die Probleme der Exemplarstreuungen und der Nichtlinearität vermindern, wodurch allerdings auch die Empfindlichkeit der Messanordnung vermindert wird.

Ausführungen

Platin-Widerstandsthermometer können je nach Ausführung auch bis - 250 °C oder + 1000 °C verwendet werden. Je nach Anwendung befindet sich das Platin in Draht- oder Schichtform auf einem gläsernen oder keramischen Träger und ist für industriellen Einsatz meist von einem Schutzrohr aus korrosions- und hitzefestem Material umhüllt. Bei niedrigeren Temperaturen ist dieses eher ein Metallrohr, bei höheren Temperaturen kommt ebenfalls Keramik zum Einsatz.

Heißleiter können je nach Ausführung z. B. im Bereich 0 … 150 °C verwendet werden. Sie werden in Stab-, Scheiben- oder Perlenform hergestellt, teilweise mit Glas ummantelt.

Messschaltungen für Widerstandsthermometer

Messschaltungen

Zur Widerstandsmessung muss der Widerstand von einem konstanten Strom durchflossen werden. Die anliegende Spannung ist ein leicht messbares, dem Widerstand proportionales Signal. Häufig misst man allerdings nicht diese Spannung, sondern nur ihre Änderung gegenüber einem Anfangswert mittels einer differenz-bildenden Schaltung (Wheatstone-Brücke). Um den Fehler durch Eigenerwärmung gering zu halten, muss der Messstrom möglichst gering sein, beim Pt100 typisch einige Milliampere.

In industriellen Anlagen sind häufig größere Entfernungen zwischen Sensor und Messumformer zu überbrücken mit entsprechend langen Zuleitungen. Um die Einflüsse der Widerstände der Leitungen auf den Messwert zu vermeiden, werden Platin-Widerstandssensoren auch mit Drei- oder Vier-Leiteranschluss gefertigt. Dadurch wird eine getrennte Zuführung des Messstromes möglich bzw. der Zuleitungsfehler kann kompensiert werden. Im Außen-Bereich ist die Installation mit 3 oder 4 Leitern unbedingt anzuraten.

• Brücken-Schaltung: Für die fast abgeglichene Wheatstone-Brücke (mit kleiner Verstimmung) gilt im Prinzip
  $U\sim \Delta R= R_t-R_1\$
• Zweileiterschaltung:
  $U\sim R_t+2\sdot R_{Ltg}+R_{Abgl}-R_1$
  $U\sim R_t+2\sdot R_{Ltg}-konst$
  Ein ΔR_Ltg ist nicht unterscheidbar von einem ΔR_t . Genormt darf $2\sdot R_{Ltg}$ bis 10 Ω betragen. (Bei kleinerem Leitungswiderstand wird mit einem Abgleichwiderstand auf 10 Ω ergänzt.) Da die Kupfer-Leitungen etwa denselben Temperaturkoeffizienten haben wie ein Pt100, macht sich überschlägig jede Temperatur-Änderung der Leitung bis zu 10 % bemerkbar wie eine Temperatur-Änderung der Messstelle; dabei sind in Freileitungen Schwankungen um 50 … 70 °C realistisch.

• Dreileiter-Schaltung:
  $U\sim (R_t+ R_{Ltg3})-(R_1 +R_{Ltg2})\$
  $U\sim R_t-R_1\$ .
  Bei gleichen Leitungen fällt R_Ltg heraus. (Ein Abgleichwiderstand ist dann überflüssig.) R_Ltg1 wirkt wie ein Quellenwiderstand der Speisespannung und macht sich praktisch nicht bemerkbar.

• Vierleiter-Schaltung: Mit einer elektronisch stabilisierten Konstantstromquelle ist I unabhängig von R_t und von R_Ltg in den Speiseleitungen. Wenn man einen elektronischen Spannungsmesser mit hohem Eingangswiderstand verwendet, wird $I_U\ll I$ (keine merkliche Stromverzweigung) und $I_U \sdot R_{Ltg}\ll I\sdot R_t$ (kein merklicher Spannungsverlust in den Messleitungen), so dass $U=I\sdot R_t$ wird, also $U\sim R_t\$ .

Tabelle

Werte für verschiedene gängige Widerstandsthermometer

Temperatur in °C	Pt100 in Ω	Pt1000 in Ω	PTC in Ω	NTC in Ω	NTC in Ω	NTC in Ω	NTC in Ω	NTC in Ω
	Typ: 404	Typ: 501	Typ: 201	Typ: 101	Typ: 102	Typ: 103	Typ: 104	Typ: 105
−50	80,31	803,1	1032
−45	82,29	822,9	1084
−40	84,27	842,7	1135			50475
−35	86,25	862,5	1191			36405
−30	88,22	882,2	1246			26550
−25	90,19	901,9	1306		26083	19560
−20	92,16	921,6	1366		19414	14560
−15	94,12	941,2	1430		14596	10943
−10	96,09	960,9	1493		11066	8299
−5	98,04	980,4	1561	31389	8466
0	100,00	1000,0	1628	23868	6536
5	101,95	1019,5	1700	18299	5078
10	103,90	1039,0	1771	14130	3986
15	105,85	1058,5	1847	10998
20	107,79	1077,9	1922	8618
25	109,73	1097,3	2000	6800			15000
30	111,67	1116,7	2080	5401			11933
35	113,61	1136,1	2162	4317			9522
40	115,54	1155,4	2244	3471			7657
45	117,47	1174,7	2330				6194
50	119,40	1194,0	2415				5039
55	121,32	1213,2	2505				4299	27475
60	123,24	1232,4	2595				3756	22590
65	125,16	1251,6	2689					18668
70	127,07	1270,7	2782					15052
75	128,98	1289,8	2880					12932
80	130,89	1308,9	2977					10837
85	132,80	1328,0	3079					9121
90	134,70	1347,0	3180					7708
95	136,60	1366,0	3285					6539
100	138,50	1385,0	3390
105	140,39	1403,9
110	142,29	1422,9
150	157,31	1573,1
200	175,84	1758,4

dient dem Zeilenumbruch, bitte nicht entfernen

Weblinks

• Leitfaden für Anwender zur elektrischen Temperaturmessung mit Thermoelementen und Widerstandsthermometern
• Widerstandsthermometer / Thermoelemente
• Daten zu Temperatursensoren
• Widerstandskennlinien