Durbin-Watson-Test

Mit Hilfe des Durbin-Watson-Tests kann man Autokorrelationen 1. Ordnung ermitteln, d. h. die Korrelation zwischen zwei aufeinanderfolgenden Residualgrößen.

Vorgehen

Hypothesen

Beim Durbin-Watson-Test wird eine Nullhypothese, die besagt, dass keine Autokorrelation vorliegt (ρ₁ = 0) und deren Gegenhypothese, welche aussagt, dass Autokorrelation vorliegt ($\rho_1 \ne 0$), aufgestellt. Die Teststatistik lautet:

Teststatistik

$d = \frac{\sum_{t=2}^T (\epsilon_t - \epsilon_{t-1})^2} {\sum_{t=1}^T \epsilon_t^2}$

Hierbei bezeichnen die $\epsilon_t$ jeweils die Residuen der Regression in der t-ten Periode. Wenn die Differenz zwischen den Residualgrößen sehr klein bzw. sehr groß ist, so liegt positive bzw. negative Autokorrelation vor. Dies führt dazu, dass der Durbin-Watson-Wert d gegen den Wert null bzw. vier strebt.

Testentscheidung

Wert der Teststatistik	Korrelation	Bedeutung
$d=2\,$	$\rho_1=0\,$	keine Autokorrelation
$d=0\,$	$\rho_1=1\,$	perfekte positive Autokorrelation
$d=4\,$	$\rho_1=-1\,$	perfekte negative Autokorrelation

Die An- und Ablehnungsbereiche können tabellarisch ermittelt werden.^[1] Für d < d_u liegt positive Autokorrelation vor, für d > 4 − d_u negative Autokorrelation, zwischen d_o und 4 − d_o liegt keine Autokorrelation vor. In den Intervallen [d_u;d_o] und [4 − d_o;4 − d_u] liegen Unschärfebereiche vor, in denen keine Aussagen getroffen werden können.

Durbin h-Statistik

Bei autoregressiven Modellen ist diese Teststatistik zum Wert vier hin verzerrt, sodass die Autokorrelation unterschätzt wird. Allerdings lässt sich aus der obigen Statistik leicht die bei großen Stichproben standardnormalverteilte und unverzerrte Durbin h-Statistik herleiten:

$h = \left(1 - \frac{1}{2} d\right) \sqrt{\frac{T}{1 - T \cdot \hat \mathrm{Var}\left(\hat\beta\right)}}$, wobei $\hat \mathrm{Var}\left(\hat\beta\right)$ die geschätzte Varianz des Regressionskoeffizienten der zeitlich verzögerten endogenen Variable ist und $T \cdot \hat \mathrm{Var}\left(\hat\beta\right) < 1$ sein muss.

Durbin-Watson Test für Paneldaten

Für Paneldaten lässt sich die obige Teststatistik wie folgt verallgemeinern:

$d_{pd} = \frac{\sum_{i=1}^N \sum_{t=2}^T (\epsilon_{it} - \epsilon_{i,t-1})^2} {\sum_{i=1}^N \sum_{t=1}^T \epsilon_{it}^2}$, mit $\epsilon_{it}$ = Residuen der Within-Regression

Diese Teststatistik wird dann mit den in Abhängigkeit von T (Länge des balancierten Paneldatensatzes), K (Zahl der Regressoren) und N (Zahl der beobachteten Individuen) tabellierten Annahme- und Ablehnungsbereiche verglichen [siehe hierzu bspw. Bhargava et al. (1982), Seite 537].

Literatur

• Gujarati, Damodar N. (1995): Basic Econometrics, 3 Aufl., New York et al.: McGraw-Hill, 1995, Seite 605f.
• Eckey, Hans-Friedrich/Kosfeld, Reinhold/Dreger, Christian (2004): Ökonometrie, 3., überarb. und erw. Aufl., Wiesbaden: Gabler, 2004, Seite 114ff.
• Verbeek, Marno (2004): A Guide to Modern Econometrics, 2. Aufl., Chichester: John Wiley & Sons, 2004, Seite 102f.
• Bhargava, A./Franzini, L./Narendranathan, W. (1982): Serial Correlation and the Fixed Effects Models, in: Review of Economic Studies, Vol. 49 Iss. 158, 1982, Seite 533-549.

Einzelnachweise

1. ↑ Vergleiche zu diesem Absatz: Eckey, Hans-Friedrich/Kosfeld, Reinhold/Dreger, Christian (2004): Ökonometrie, 3., überarb. und erw. Aufl., Wiesbaden: Gabler, 2004.

Weblinks

• Link zu einer Tabelle für hohe n- und k-Werte