Autokorrelation (Statistik)

Die Autokorrelation ist ein Begriff aus der Statistik und beschreibt die Korrelation zwischen zwei Zeitpunkten einer Zeitreihe.

Definition

Autokorrelationsfunktion der Zeitreihe der Tiefenmessungen des Huronsees

Im statistischen Modell geht man von einer geordneten Folge von Zufallsvariablen aus. Vergleicht man die Folge mit sich selbst, so spricht man von Autokorrelation. Da jede unverschobene Folge mit sich selbst am ähnlichsten ist, hat die Autokorrelation für die unverschobenen Folgen den höchsten Wert. Wenn zwischen den Gliedern der Folge eine Beziehung besteht, die mehr als zufällig ist, hat auch die Korrelation der ursprünglichen Folge mit der verschobenen Folge in der Regel einen Wert, der signifikant von Null abweicht. Man sagt dann, die Glieder der Folge sind autokorreliert.

Anwendung

Genutzt wird die Autokorrelation u. a. in der Regressionsanalyse, der Zeitreihenanalyse und in der Bildverarbeitung. Beispielsweise werden in der Regressionsanalyse die Störgrößen, also die Abweichungen der Beobachtungswerte von der wahren Regressionsgeraden, als Folge von identisch verteilten Zufallsvariablen interpretiert. Damit die Regressionsanalyse sinnvolle Ergebnisse liefert, müssen die Störgrößen unkorreliert sein.

Mathematische Definition

Mit der Autokorrelation wird eine normierte Form der Autokovarianz γ(t₁,t₂) bezeichnet:

$\rho\left(t_1,t_2\right)=\frac{\gamma\left(t_1,t_2\right)}{\sigma_{t1}\sigma_{t2}} \qquad \mbox{ mit} -1\le\rho(t_1,t_2)\le+1$

Hierbei bedeuten:

σt1	Standardabweichung zum Zeitpunkt t1
σt2	Standardabweichung zum Zeitpunkt t2
ρ(t1,t2)	Autokorrelation bezogen auf die Zeitpunkte t1 und t2

In dieser Form ist die Autokorrelationsfunktion auf den Bereich zwischen -1 und 1 normiert (einheitslos).

Eigenschaften

Für einen stationären Prozess ist die Autokovarianz nur vom Zeitunterschied τ zwischen t₁ und t₂ abhängig. Die Standardabweichung ist dann unabhängig vom Zeitpunkt, das Produkt der Standardabweichungen im Nenner entspricht dann der Varianz $\sigma_Y^2$ der Zufallsvariable Y. Für eine Zeitdifferenz τ = 0 ist die Autokovarianz identisch mit der Varianz. Somit vereinfacht sich die Autokorrelationsfunktion für einen stationären Prozess zu:

$\rho\left(t_1,t_2\right)=\rho_\tau=\frac{\gamma_\tau}{\sigma_Y^2}=\frac{\gamma_\tau}{\gamma_0}$

Korrelogramm

In einem Korrelogramm kann die Autokorrelation grafisch dargestellt werden.

→ Hauptartikel: Korrelogramm

Durbin-Watson-Test

Mit dem Durbin-Watson-Test kann anhand einer Stichprobe überprüft werden, ob eine Zeitreihe oder räumliche Daten eine Korrelation aufweisen.

→ Hauptartikel: Durbin-Watson-Test