Düsenströmung

Als Düsenströmung wird die Strömung eines Fluides, das heißt eines Gases oder einer Flüssigkeit, durch eine Düse bezeichnet. Dabei wird das Fluid beschleunigt, während der Druck abnimmt. Bei einer Düsenströmung wird potentielle in kinetische Energie umgewandelt.

Der durch die Düse fließende Massenstrom wird durch den Vordruck p_i, den Gegendruck p_a und den engsten Querschnitt A der Düse bestimmt. Bei konstantem Vordruck p_i nimmt der Massenstrom mit sinkendem Gegendruck p_a im Ausflussraum zunächst zu, bis bei einem bestimmten kritischen Druckverhältnis die Geschwindigkeit im engsten Querschnitt gerade die Schallgeschwindigkeit des Fluides erreicht. Bei weiterer Reduzierung des Gegendrucks unter den kritischen Wert bleibt der Massenstrom konstant.

Eindimensionales Berechnungsmodell

Das eindimensionale Berechnungsmodell stützt sich auf die Erhaltungssätze von Masse, Impuls und Energie sowie auf Zustandsgleichungen des Fluids. Es wird lokales thermodynamisches Gleichgewicht vorausgesetzt. Zudem wird angenommen, dass die Geschwindigkeit, der Druck und die Temperatur in jedem Querschnitt senkrecht zur Strömungsrichtung gleichförmig sind. Das Modell ergibt Beziehungen zwischen integralen (globalen) Eingangs- und Ausgangsgrößen (Massenstrom, mittlere Geschwindigkeit, Temperatur).

Die Erhaltung der Masse wird gewährleistet durch die Kontinuitätsgleichung:

$\dot{m}=A(x) \cdot w(x) \cdot \rho(x)$

Der Massenstrom $\dot{m}$ ist durch jeden Querschnitt A(x) gleich. Hierbei bezeichnet x die Koordinate längs der Düsenachse in Strömungsrichtung, w(x) die Strömungsgeschwindigkeit und ρ(x) die Dichte.

Die Erhaltung der Energie wird durch die Bernoulli-Gleichung gewährleistet:

$\frac{w^2}{2} + h = h_0$

wobei h die spezifische Enthalpie des Fluids im Strömungszustand mit der Geschwindigkeit w und h₀ die spezifische Enthalpie des Fluids im Kesselzustand (w = 0) bezeichnet.

Wenn die Strömung adiabatisch verläuft und Reibungsverluste vernachlässigt werden können, so bleibt die Entropie des Fluids während der Beschleunigung durch die Düse in erster Näherung konstant (isentrope Düsenströmung). Sind die Dichte ρ(s,p) und die spezifische Enthalpie h(s,p) in Abhängigkeit von der spezifischen Entropie s und dem Druck p gegeben (Zustandsgleichungen des Fluids), dann gilt:

$w(p)=\sqrt{2 \cdot \left( h_0 - h(s_0,p)\right)}$

wobei s₀ die spezifische Entropie im Kesselzustand ist.

Der Strömungsquerschnitt A in Abhängigkeit vom Druck folgt aus:

$A(p)=\frac{\dot{m}}{w(p) \cdot \rho(p)}$

Der Druck p = p(x) und damit alle anderen Größen sind Funktionen der Koordinate x.

Der Strömungsquerschnitt A(p) hat ein Minimum bei dem Druck, wo die Strömungsgeschwindigkeit w gleich der Schallgeschwindigkeit c_s ist.

Die Schallgeschwindigkeit ist definiert durch:

$c_s=\sqrt{\left( \frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s}$

Zudem gilt allgemein: $\left( \frac{\partial h}{\partial p}\right)_s = \frac{1}{\rho(s,p)}$

Damit ergibt sich:

$\left( \frac{\partial A}{\partial p}\right)_s = \dot{m} \cdot \frac{c_s^2 - w^2}{c_s^2 \cdot w^3 \cdot \rho^2}$

Düsenströmung eines idealen Gases

Bei der adiabaten Strömung eines idealen Gases gilt folgender Zusammenhang zwischen Dichte und Druck:

$p( \rho ) = p_i \cdot \left( \frac{\rho}{\rho_i} \right)^{\kappa}$

mit

$\kappa = \frac{c_p}{c_V}$ : Adiabatenexponent (z.B. für Luft: κ = 1,4)

wobei p_i den Druck und ρ_i die Dichte im Vordruckbereich bezeichnen.

Wird die Strömungsgeschwindigkeit in der Vorkammer vernachlässigt, so ergibt sich bei adiabater Strömung folgender Zusammenhang zwischen Massenstrom und Druckverhältnis:

$\dot{m}=A \cdot \mu \cdot \Psi(p_a/p_i,\kappa) \cdot \sqrt{2 \cdot p_i \cdot \rho_i}$

Die Ausflussfunktion Ψ ist definiert durch:

$\Psi(x,\kappa)=\begin{cases}\sqrt{\frac{\kappa}{\kappa - 1}\cdot x^{1/\kappa} \cdot \left( x^{1/\kappa}-x \right)}&\left( \frac{2}{\kappa+1}\right)^{\frac{\kappa}{\kappa-1}}<x<1\\\left( \frac{2}{\kappa+1}\right)^\frac{1}{\kappa-1}\cdot\sqrt{\frac{\kappa}{(\kappa+1)}}&x\le\left(\frac{2}{\kappa+1}\right)^{\frac{\kappa}{\kappa-1}}\end{cases}$

wobei hier eben anstatt x der Quotient p_a / p_i eingesetzt werden muss. Der Wert $\left(\frac{2}{\kappa+1}\right)^{\frac{\kappa}{\kappa-1}}$ entspricht dem kritischen Druckverhältnis.

Durch Strahleinschnürung und Reibung verringert sich der tatsächliche Massenstrom. Dies wird durch eine Ausflusszahl μ berücksichtigt, welche nur von der Düsengeometrie abhängt. Für gut abgerundete Düsen ist $\mu \approx 1$. Für scharfkantige Blenden kann der Wert bis auf μ = 0,59 verringert sein.

Anwendungsbeispiel: Gasbrennerdüse

Der Massenstrom eines Brenngas-Luft-Gemischs durch eine Gasbrennerdüse ergibt sich aus:

$\dot{m}_D=A\cdot \Psi\left( \frac{p_0}{p_0+p_D},\kappa \right)\cdot \left( p_0+p_D \right) \cdot \sqrt{\frac{2M}{R \cdot T}}$

wobei

• $\dot{m}_D$ : Massenstrom des Brenngas-Luft-Gemischs
• p₀ : Druck im Ausflussraum (Umgebungsdruck)
• p_D : Überdruck vor der Düse
• A : kleinster Querschnitt der Düse multipliziert mit der Ausflusszahl = effektiver Düsenquerschnitt
• M : mittlere molare Masse des Brenngas-Luft-Gemischs
• T : Kelvintemperatur des Brenngas-Luft-Gemischs vor der Düse
• R = 8,3145 J/(mol K) : Gaskonstante

Diese Formel stellt den Massenstrom in Abhängigkeit von den Gaseigenschaften, dem Überdruck p_D, dem Umgebungsdruck und der Temperatur mit sehr guter Genauigkeit dar. Sie enthält nur einen von der Bauform der Düse abhängigen Parameter A, der aus Messwerten bestimmt werden kann.