- Eulerdreieck
-
Die nach Leonhard Euler benannte Euler-Zahl An,k in der Kombinatorik, auch geschrieben als E(n,k) oder , gibt die Anzahl der Permutationen (Anordnungen) von 1, …, n an, in denen genau k Elemente größer als das vorhergehende sind, die also genau k Anstiege enthalten. Äquivalent dazu ist die Definition mit „kleiner“ statt „größer“ und „Abstiege“ statt „Anstiege“. Nach einer anderen Definition sind die Euler-Zahlen a(n,k) die Anzahlen der Permutationen von 1, …, n mit genau k maximalen monoton ansteigenden Abschnitten, wodurch der zweite Parameter gegenüber der hier verwendeten Definition um eins verschoben ist: a(n,k) = An,k−1.
Inhaltsverzeichnis
Euler-Dreieck
Wie die Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck können die Euler-Zahlen im Euler-Dreieck angeordnet werden (erste Zeile n = 1, erste Spalte k = 0):
1 1 1 1 4 1 1 11 11 1 1 26 66 26 1 1 57 302 302 57 1 1 120 1191 2416 1191 120 1 1 ... ... ... ... ... ... 1
Dabei kann man mit der folgenden Rekursionsformel jeden Eintrag aus den beiden darüberstehenden berechnen:
für n > 0 mit A0,0 = 1 und A0,k = 0 für k > 0.
Eigenschaften
Direkt aus der Definition folgen An,0 = 1 für n ≥ 0 und An,n−1−k = An,k für n > 0, k ≥ 0 und
- für n ≥ 0.
Aus den Binomialkoeffizienten können die Euler-Zahlen mit der Formel
für n, k ≥ 0 berechnet werden, insbesondere ist
- An,1 = 2n − (n + 1) und
Es gilt die Worpitzky-Identität (nach Julius Worpitzky)
für n ≥ 0, wobei x eine Variable und ein verallgemeinerter Binomialkoeffizient ist.
Eine erzeugende Funktion für An,k in den Variablen t und x ist
Eine Beziehung zu den Bernoulli-Zahlen βm wird durch die alternierende Summe
für m > 0 hergestellt.
Literatur
- Martin Aigner: Diskrete Mathematik, Vieweg-Verlag, Braunschweig/Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0084-8
- Kenneth H. Rosen, John G. Michaels et al.: Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics, CRC Press LLC, 1999, ISBN 978-0-8493-0149-0 (englisch)
- Julius Worpitzky: Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen, Crelles Journal 94, 1883, S. 203–232
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Eulerian Number auf MathWorld (englisch)
- Eric W. Weisstein: Euler’s Number Triangle auf MathWorld (englisch)
- Eric W. Weisstein: Worpitzky’s Identity auf MathWorld (englisch)
- Folge A008292 in OEIS (englisch)
Wikimedia Foundation.