Fixpunktsatz von Kakutani

Eine Korrespondenz von einer Menge A in eine Menge B ist eine Abbildung φ von A in die Potenzmenge von B. Damit handelt es sich um eine Präzisierung des in der älteren mathematischen Literatur häufiger anzutreffenden Begriffs der mehrwertigen Funktion.

Korrespondenzen als Relation

Eine Korrespondenz φ von A nach B kann mit der Relation $R= \{(a,b) \in A \times B \mid b \in \phi(a) \}$ identifiziert werden, denn aus der Relation $R\subseteq A\times B$ erhält man durch die Definition $\phi(a) = \{b\in B \mid aRb\}$ wieder die Korrespondenz zurück.

Eigenschaften von Korrespondenzen

Sind A und B topologische Räume, so lassen sich interessante Eigenschaften von Korrespondenzen φ zwischen A und B definieren.

Man nennt φ abgeschlossen (offen), wenn die zugehörige Relation im Produktraum abgeschlossen (offen) ist.

Ein Fixpunkt einer Korrespondenz φ von A nach A ist ein Punkt $a\in A$ mit $a\in \phi(a)$ .

Der folgende, nicht-konstruktive Existenzsatz von Shizuo Kakutani sichert die Existenz von Fixpunkten.

Fixpunktsatz von Kakutani

Sei $A\subset {\mathbb R}^n$ nicht leer, konvex und kompakt, und sei φ eine abgeschlossene Korrespondenz von A nach A derart, dass φ(a) für jedes a konvex und nicht leer ist. Dann besitzt φ einen Fixpunkt.

Anwendungen

Dieser Fixpunktsatz verallgemeinert den brouwerschen Fixpunktsatz, denn eine Abbildung $f:A\rightarrow A$ kann man als Korrespondenz φ mit φ(a) = {f(a)} auffassen, und ein Fixpunkt von φ ist ein Fixpunkt von f.

In der mathematischen Wirtschaftstheorie führt dieser Satz zu interessanten Existenzsätzen über Gleichgewichtspreise. In der mathematischen Spieltheorie hat John Forbes Nash diesen Satz verwendet, um die Existenz von Gleichgewichtspunkten in gewissen kooperativen Zweipersonenspielen zu zeigen (siehe Nash-Gleichgewicht).

Literatur

• Heinz König, Michael Neumann: Mathematische Wirtschaftstheorie. Verlag Anton Hain Meisenheim GmbH (1986)
• Burkhard Rauhut, Norbert Schmitz, Ernst-Wilhelm Zachow: Eine Einführung in die mathematische Theorie strategischer Spiele. Teubner Studienbücher (1979)
• Heuser: Lehrbuch der Analysis - Teil 2. 5-te Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S.609