Formel von Wald

Die Formel von Wald ist eine Möglichkeit, den Erwartungswert von Summen zufälliger Größen mit zufälligem Index zu berechnen. Sie wurde 1944 in einer Arbeit des Mathematikers Abraham Wald bewiesen. ^[1]

Es sei $(X_n)_{n\geq 1}$ eine Folge unabhängiger, identisch verteilter, integrabler Zufallsvariablen, adaptiert an die Filtrierung $(\mathcal{F}_n)_n$, und T eine von der Folge unabhängige, integrierbare Stoppzeit bezüglich $(\mathcal{F}_n)_n$.

Dann gilt

$\mathbb{E}(\sum_{k=1}^TX_k)=\mathbb{E}(T)\mathbb{E}(X_1)$.^[2]

Einzelnachweise

1. ↑ Abraham Wald: On Cumulative Sums of Random Variables. In: The Annals of Mathematical Statistics Nr. 15, Bd. 3, S. 283–296, doi:10.1214/aoms/1177731235.
2. ↑ Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 5. Auflage, Kapitel 17.