Formel von de Moivre

Der Moivresche Satz oder Satz von de Moivre, benannt nach Abraham de Moivre, besagt, dass für jede komplexe Zahl (und damit auch jede reelle Zahl) x und jede natürliche Zahl n der Zusammenhang

$\left( \cos x + i\,\sin x \right)^n = \cos\left( n\,x\right) + i\,\sin\left(n\,x\right)$

gilt. Diese Formel verbindet die komplexen Zahlen mit der Trigonometrie, sodass die komplexen Zahlen trigonometrisch dargestellt werden können.

Der Ausdruck $\cos x + i\,\sin x$ kann auch verkürzt als $\operatorname{cis}\,x$ dargestellt werden.

Ableitung

Der Moivresche Satz kann von der Eulerformel

$e^{i\,x} = \cos x + i\,\sin x$

der komplexen Exponentialfunktion und ihrer Funktionalgleichung

$\left(e^{i\,x} \right)^n = e^{i\,n\,x}$

abgeleitet werden.

Ein alternativer Beweis ergibt sich aus der Produktdarstellung (siehe Additionstheoreme)

$(\cos\varphi+i\,\sin\varphi)\cdot(\cos\psi+i\,\sin\psi) = \cos(\varphi+\psi)+i\,\sin(\varphi+\psi)$

per vollständiger Induktion.

Verallgemeinerung

Wenn

$\left\{z,w\right\}\in\mathbb{C}$

dann ist

$\left(\cos z+i\,\sin z\right)^w$

eine mehrwertige Funktion aber nicht

$\cos\left(w\,z\right)+i\,\sin\left(w\,z\right)$.

Dadurch gilt

$\left\{\cos\left(w\,z\right) + i\,\sin\left(w\,z\right)\right\} \in \{\left(\cos z+i\,\sin z\right)^w\}$

Siehe auch

• Einheitswurzel