Generalsubstitution

Als Generalsubstitution bezeichnet man in der Mathematik eine bestimmte Methode der Integration durch Substitution für bestimmte Funktionen, die die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus enthalten. Man nennt diese Art der Substitution auch Cayley-Substitution.

Möchte man ein Integral der Form $\int R(\sin(x), \cos(x)) \, dx$ berechnen, wobei R eine rationale Funktion bezeichnet, so verwendet man die folgende Substitution:

$\tan \left(\frac{x}{2}\right) = t.$

Daraus ergeben sich folgende Formeln:

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

$dx = \frac{2 \, dt}{1+t^2}$

Herleitung der Formeln

Mit den Additionstheoremen erhält man:

$\sin(x) = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 2t \cdot \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$

$t = \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})} \iff \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1-\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}{t^2} \iff \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{1+t^2}$

Zusammen hat man die Darstellung oben für sin(x). Die Darstellung für cos(x) erhält man wie folgt:

$\cos(x) = \sqrt{1-\sin^2(x)} = \sqrt{1 - \frac{4t^2}{(1+t^2)^2} } = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Die Ableitung von x nach t ergibt sich mit:

$t = \tan\left( \frac{x}{2} \right) \iff x = 2 \cdot \arctan(t) \Rightarrow \frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+t^2}$

Beispiel

Die Generalsubstitution ist geeignet, die trigonometrischen Funktionen bei der Berechnung des Integrals zu eliminieren, wie das folgende Beispiel zeigt.

$\int \frac{2}{3+\cos(x)} \, dx = \int \frac{2}{(3+\frac{1-t^2}{1+t^2})} \cdot \frac{2}{(1+t^2)} \, dt = \int \frac{4}{3+3t^2+1-t^2} \, dt = \int \frac{2}{2+t^2} \, dt$

Dieses Integral lässt sich nun etwa mit der gewöhnlichen Integration durch Substitution berechnen.