Gerschgorin-Kreis

Gerschgorin-Kreise dienen in der numerischen linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, zur Abschätzung von Eigenwerten. Mit ihrer Hilfe können einfach Gebiete angegeben werden, in welchen sich die Eigenwerte einer Matrix befinden und unter besonderen Bedingungen sogar wie viele Eigenwerte in diesen enthalten sind.

Sie sind benannt nach dem weißrussischen Mathematiker Semjon Aranowitsch Gerschgorin.

Definition

Sei A eine quadratische Matrix mit Einträgen aus $\mathbb{C}$ (also $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$), dann ist der zum i-ten Diagonalelement a_ii gehörende Gerschgorin-Kreis folgendermaßen definiert:

$\bar S_i := \bar S\left(a_{ii}, \sum_{j=1, j \neq i}^n \left| a_{ij} \right|\right)$ für $i=1,\ldots,n$

wobei $\bar S(x, r)$ mit $x \in \mathbb{C}, r \in \mathbb{R^{+}}$ den abgeschlossenen Kreis mit Radius r um den Punkt x bezeichnet.

Da die Menge der Eigenwerte (Spektrum) von A identisch mit der von A^T ist, kann eine weitere Familie von Kreisen mit denselben Eigenschaften auch spaltenweise bestimmt werden:

$\bar S_j := \bar S\left(a_{jj}, \sum_{i=1, i \neq j}^n \left| a_{ij} \right|\right)$ für $j=1,\ldots,n$

Abschätzung von Eigenwerten

Es gilt:

• Das Spektrum von A ist eine Teilmenge von $\bigcup_{i=1}^{n} \bar S_i$
• Falls es eine Teilmenge I von $\{1,\ldots,n\}$ gibt sodass:

$\bigcup_{i \in I} \bar S_i \cap \bigcup_{i \notin I} \bar S_i = \emptyset$

dann beinhaltet $\bigcup_{i \in I} \bar S_i$ genau $\left|I\right|$ Eigenwerte (samt Vielfachheiten) der Matrix A.

Durch die Möglichkeit, die Kreise sowohl zeilen- als auch spaltenweise zu berechnen (die Eigenwerte der transponierten Matrix sind dieselben), können bei nichtsymmetrischen Matrizen zwei Abschätzungen pro Diagonalelement gefunden werden.

Beispiele

Gerschgorin-Kreise zu Matrix A

Sei $A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0.5 \\ 0.2 & 5 & 0.7 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

Zu obiger Matrix gibt es folgende Gerschgorin-Kreise (spalten- und zeilenweise):

• $\bar S(2, 1.2)$ und $\bar S(2, 1.5)$ zum Diagonalelement a₁₁
• $\bar S(5, 1)$ und $\bar S(5, 0.9)$ zum Diagonalelement a₂₂
• $\bar S(6, 1.2)$ und $\bar S(6, 1)$ zum Diagonalelement a₃₃

Da der Mengendurchschnitt $\bar S(2, 1.2) \cap \bigl(\bar S(5, 1) \cup \bar S(6, 1.2)\bigr) = \emptyset$ leer ist, befindet sich in $\bar S(2, 1.2)$ genau ein Eigenwert und in $\bar S(5, 0.9) \cup \bar S(6, 1)$ befinden sich genau 2.

Die tatsächlichen Eigenwerte der Matrix A sind 1.8692, 4.8730 und 6.2578 (berechnet mittels GNU Octave) und sind tatsächlich in den oben angegebenen Gebieten enthalten.

Sei $B= \begin{pmatrix} 8 & 0 & 1 \\ 0 & 7 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \\ \end{pmatrix}$

Die obige Matrix ist symmetrisch, quadratisch und reell, somit sind alle Eigenwerte aus $\mathbb{R}$ und es gibt folgende reelle Intervalle (Gerschgorin Kreise):

• $\lbrack 7, 9 \rbrack = \bar S(8, 1)$ zum Diagonalelement b₁₁
• $\lbrack 7, 7 \rbrack = \bar S(7, 0)$ zum Diagonalelement b₂₂
• $\lbrack 4, 6 \rbrack = \bar S(5, 1)$ zum Diagonalelement b₃₃

Da diese Matrix nur schwach besetzt ist, kann der Eigenwert zu b₂₂ exakt bestimmt werden, die beiden anderen liegen in den Intervallen [7,9] und [4,6], somit kann B direkt als positiv definit identifiziert werden. Die tatsächlichen Eigenwerte der Matrix B sind 4.6972, 7 und 8.3028 (berechnet mittels GNU Octave). Die genauen Werte sind $\{7,\,\tfrac{13\pm \sqrt{13}}2\}$.

Siehe auch

• Satz von Gerschgorin: Anwendung auf Polynomnullstellen

Literatur

• Gerschgorin, S. "Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix." Izv. Akad. Nauk. UdSSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk 7, Seite 749-754, 1931
• Varga, R. S. Geršgorin and His Circles. Berlin: Springer-Verlag, 2004. ISBN 3540211004. Errata.