- Gerschgorin-Kreis
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Gerschgorin-Kreise dienen in der numerischen linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, zur Abschätzung von Eigenwerten. Mit ihrer Hilfe können einfach Gebiete angegeben werden, in welchen sich die Eigenwerte einer Matrix befinden und unter besonderen Bedingungen sogar wie viele Eigenwerte in diesen enthalten sind.
Sie sind benannt nach dem weißrussischen Mathematiker Semjon Aranowitsch Gerschgorin.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Sei A eine quadratische Matrix mit Einträgen aus
(also
), dann ist der zum i-ten Diagonalelement aii gehörende Gerschgorin-Kreis folgendermaßen definiert:
für
wobei
mit
den abgeschlossenen Kreis mit Radius r um den Punkt x bezeichnet.
Da die Menge der Eigenwerte (Spektrum) von A identisch mit der von AT ist, kann eine weitere Familie von Kreisen mit denselben Eigenschaften auch spaltenweise bestimmt werden:
für
Abschätzung von Eigenwerten
Es gilt:
- Das Spektrum von A ist eine Teilmenge von
- Falls es eine Teilmenge I von
gibt sodass:
- dann beinhaltet
genau
Eigenwerte (samt Vielfachheiten) der Matrix A.
Durch die Möglichkeit, die Kreise sowohl zeilen- als auch spaltenweise zu berechnen (die Eigenwerte der transponierten Matrix sind dieselben), können bei nichtsymmetrischen Matrizen zwei Abschätzungen pro Diagonalelement gefunden werden.
Beispiele
Sei
Zu obiger Matrix gibt es folgende Gerschgorin-Kreise (spalten- und zeilenweise):
und
zum Diagonalelement a11
und
zum Diagonalelement a22
und
zum Diagonalelement a33
Da der Mengendurchschnitt
leer ist, befindet sich in
genau ein Eigenwert und in
befinden sich genau 2.
Die tatsächlichen Eigenwerte der Matrix A sind 1.8692, 4.8730 und 6.2578 (berechnet mittels GNU Octave) und sind tatsächlich in den oben angegebenen Gebieten enthalten.
Sei
Die obige Matrix ist symmetrisch, quadratisch und reell, somit sind alle Eigenwerte aus
und es gibt folgende reelle Intervalle (Gerschgorin Kreise):
zum Diagonalelement b11
zum Diagonalelement b22
zum Diagonalelement b33
Da diese Matrix nur schwach besetzt ist, kann der Eigenwert zu b22 exakt bestimmt werden, die beiden anderen liegen in den Intervallen [7,9] und [4,6], somit kann B direkt als positiv definit identifiziert werden. Die tatsächlichen Eigenwerte der Matrix B sind 4.6972, 7 und 8.3028 (berechnet mittels GNU Octave). Die genauen Werte sind
.
Siehe auch
- Satz von Gerschgorin: Anwendung auf Polynomnullstellen
Literatur
- Gerschgorin, S. "Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix." Izv. Akad. Nauk. UdSSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk 7, Seite 749-754, 1931
- Varga, R. S. Geršgorin and His Circles. Berlin: Springer-Verlag, 2004. ISBN 3540211004. Errata.
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