Goldfeld-Quandt-Test

Der Goldfeld-Quandt-Test ist ein statistischer Test zum Nachweis von Heteroskedastizität (Nicht-konstante Varianz) bei der Regressionsanalyse. Der Test basiert auf dem Vergleich zweier Stichprobenhälften. Er wurde benannt nach Stephen Goldfeld and Richard E. Quandt.^[1]

Vorgehen

Vorgehensweise beim Goldfeld-Quandt-Test.

Die Stichprobe wird in zwei Teile bzgl. einer erklärenden Variablen geteilt; siehe Grafik. Die beiden Teile müssen disjunkt sein (also keine Beobachtung darf in beiden Teilen sein), beide Teile müssen aber nicht die gesamte Stichprobe umfassen. In der Grafik ist z.B. der Mittelteil der Beobachtungen in keinem Teil (grau). Für beide Teile wird eine Regression geschätzt und die Varianz der Residuen berechnet. Bei Vorliegen von Heteroskedastiztät weist ein Teil der Stichprobe eine hohe Residualvarianz (rot) auf, während ein anderer Teil eine niedrige Residualvarianz (blau) aufweist.

Danach wird für jeden Teil die Stichprobenvarianz der Residuen ${s_i^2}$ für i=1,2 bestimmt (mit $s_1^2>s_2^2$) und der Prüfwert $\tfrac{s_1^2}{s_2^2}$ mit einem kritischen Wert aus der F-Verteilung verglichen.

Mathematische Formulierung

Voraussetzung

Im klassischen Regressionsmodell gilt Y_i1 = f₁(x_i1) + U_i1 bzw. Y_i2 = f₂(x_i2) + U_i2 mit U_i1∼N(0;σ₁) und U_i1∼N(0;σ₂). Der Test reagiert sensitiv auf Verletzungen der Normalverteilung der Residuen.

Hypothesen und Teststatistik

Die Null - und die Alternativhypothese lauten

$H_0: \sigma_1=\sigma_2\,$ (Homoskedastizität) vs. $H_1: \sigma_1\neq\sigma_2$ (Heteroskedastizität).

Die Verteilung der Teststatistik ergibt sich als

$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F_{n_1-k;n_2-k}$

mit n_i die Anzahl der Beobachtungen im iten Teil und k die Anzahl der geschätzten Regressionsparameter sowie

$S_i^2 = \frac{1}{n_i-k} \sum_{j=1}^{n_i} U_{ji}^2$.

Die Nullhypothese (Homoskedastizität) wird verworfen, wenn der Prüfwert größer ist als der kritische Wert $F_{n_1-k;n_2-k}(1-\alpha)$ aus der F-Verteilung mit n₁ − k und n₂ − k Freiheitsgraden und einem vorgegebenen Signifikanzniveau α.

Beispiel

Variable	Bedeutung
medv	Mittlerer Kaufpreis eines Hauses in 1000 US$
lstat	Anteil Unterschichtbevölkerung
rm	Durchschnittliche Raumzahl
dis	Gewichtete Entfernung zu den fünf wichtigsten Beschäftigtenzentren

Für das Beispiel wurden lineare Regressionen mit dem Boston Housing Datensatz durchgeführt. Für jeden der 506 Bezirke wurden die rechts stehenden Variablen erhoben und eine lineare Regression durchgeführt:

$medv_i=2,8083-0,7233 lstat_i + 4,8734 rm_i -0,4613 dis_i + \hat{u}_i$.

Plottet man die Residuen gegen die Variable dis (Grafik oben) so sieht man, dass die Varianz der Residuen abnimmt, wenn die Werte von dis zunehmen. Man teilt die Daten nun in zwei Teile: den roten und den blauen Teil. Dann fittet man zwei Regressionsmodelle und berechnet die Summe der quadrierten Residuen.

Rot	$medv_{i1}=+56,116-1,002 lstat_{i1}+0,664 rm_{i1} -14,106 dis_{i1} + \hat{u}_{i1}$
	$s_1^2=\frac1{n_1-k}\sum_{i=1}^{n_1} \hat{u}_{i1}^2 = \frac{4899,807}{112-4}=45,369$
Blau	$medv_{i2}=-40,858-0,044 lstat_{i2}+9,895 rm_{i2} +0,233 dis_{i2} + \hat{u}_{i2}$
	$s_2^2=\frac1{n_2-k}\sum_{i=1}^{n_2} \hat{u}_{i2}^2 = \frac{179,927}{49-4}=3,998$

Dann ergibt sich der Prüfwert zu $f=\tfrac{45,369}{3,998}=11,347$ und der kritische Wert für ein Signifikanzniveau α = 5% aus der F-Verteilung mit 108 und 45 Freiheitsgraden zu c = 1,548. Da der Prüfwert größer ist als der kritische Wert muss die Nullhypothese der Homoskedastizität abgelehnt werden.

Einzelnachweise

1. ↑ Stephen M. Goldfeld, Quandt, R. E.: Some Tests for Homoscedasticity. In: Journal of the American Statistical Association. 60, Nr. 310, Juni 1965, S. 539–547.

Literatur

Griffiths, William E. / Hill, R. Carter / Judge, George G.: Learning and Practicing Econometrics, 1. Auflage, 1993, Seite 494 ff., ISBN 0471513644